2. Просторові фільтри підвищення різкості

Головна мета підвищення різкості полягає у тому, щоб підкреслити дрібні деталі зображення або покращити ті деталі, які виявилися розфокусовані внаслідок помилок або недосконалості самого методу зйомки. Підвищення різкості зображень використовується досить широко - від електронного друку і медичної інтроскопії до технічного контролю в промисловості і систем автоматичного наведення у військовій сфері.

У попередньому розділі ми бачили, що розфокусування зображення може бути досягнуте просторовою операцією усереднювання значень точок по околиці. Оскільки усереднювання аналогічно інтеграції, то логічно дійти висновку, що підвищення різкості, будучи явищем, зворотним по відношенню до розфокусування, може бути досягнуте просторовим диференціюванням. Це дійсно так, і в даному розділі будуть обговорюватися різні способи завдання і використання операторів підвищення різкості шляхом числового диференціювання. З принципової точки зору, величина відгуку оператора похідної в точці зображення пропорційна мірі розривності зображення в цій точці. Таким чином, диференціювання зображення дозволяє посилити перепади і інші розриви (наприклад, шуми) і не підкреслювати області з повільними змінами рівнів яскравості.

2.1. Основи

У подальших двох розділах будуть розглянуті фільтри підвищення різкості, що ґрунтуються на першій і другій похідних. Проте перш, ніж перейти до безпосереднього обговорення, необхідно зупинитися на деяких фундаментальних властивостях цих похідних в контексті цифрових методів. Для простоти викладення зупинимося на одновимірних похідних. Зокрема, представляє інтерес поведінка цих похідних в областях постійної яскравості (плоскі області), на початку і у кінці розривів (розриви у вигляді сходинок і ділянок зміни яскравості - схилів), а також вздовж самих схилів. Ці типи розривів можуть використовуватися для опису шумових сплесків, ліній і контурів на зображенні. Також важливою є поведінка похідної вздовж переходу від початку до закінчення вказаних особливостей.

Похідні дискретної функції визначаються в термінах різниць. Ці різниці можна задати різними способами, проте ми керуватимемося наступним. Перша похідна має бути: (1) рівною нулю на плоских ділянках (областях з постійним рівнем яскравості); (2) ненульовою на початку й у кінці сходинки або схилу яскравості; (3) ненульовою на схилах яскравості. Аналогічно, друга похідна має бути: (1) рівною нулю на плоских ділянках; (2) ненульовою на початку й у кінці сходинки або схилу яскравості; (3) рівною нулю на схилах постійної крутизни. Оскільки ми оперуємо обмеженими числовими значеннями, максимальне значення зміни яскравості також кінцеве, а найкоротша відстань, на якій ця зміна може відбуватися, є відстанню між сусідніми пікселями.

Перша похідна одновимірної функції визначається як різниця значень сусідніх елементів :

Тут використаний запис у вигляді часткової похідної для того, щоб зберегти ті ж позначення у разі двох змінних , де доведеться мати справу з частковими похідними вздовж двох просторових осях. Використання часткової похідної не змінює предмет розгляду.

Аналогічно, друга похідна визначається як різниця сусідніх значень першої похідної :

Легко перевірити, що обидва ці визначення задовольняють сформульованим раніше умовам стосовно похідних першого та другого порядків. Щоб побачити це, а також підкреслити основну схожість і відмінності між похідними першого та другого порядків в контексті обробки зображень, розглянемо приклад на рис. 4.7.

На Рис. 4.7(а) показане просте зображення, що містить декілька суцільних об’єктів, лінію і окрему шумову точку. На рис. 4.7(б) представлений горизонтальний профіль яскравості (по рядку розгортки), що проходить через центр зображення й шумову точку. Цей профіль, що є одновимірною функцією, використовуватиметься для подальших ілюстрацій. На рис. 4.7(в) показана спрощена дискретна схема профілю. Вона містить мінімальну кількість точок, потрібну для аналізу поведінки першої та другої похідних поблизу окремої точки, лінії, схилу й контуру об’єкту. На приведеній спрощеній схемі схил займає чотири пікселі, окрема точка - один піксель, товщина лінії - три пікселі, а сходинка яскравості розташована між сусідніми пікселями. Кількість рівнів яскравості також скорочена до восьми.

Рис. 4.7. (а) Просте зображення; (б) одновимірний горизонтальний профіль, що проходить через центр зображення й окрему шумову точку; (в) схематичне дискретне зображення профілю (для простоти точки сполучені пунктирними лініями)

Розглянемо поведінку першої та другої похідних під час руху вздовж профілю зліва направо. Спершу відмітимо, що перша похідна не дорівнює нулю впродовж усього схилу, тоді як друга похідна не дорівнює нулю лише на початку й кінці схилу. Оскільки границі об’єктів на зображенні відповідають саме такому типу переходів, можна зробити висновок, що перша похідна дає в результаті "товсті" контури, а друга - значно "тонші". Наступною є окрема точка. На ній (і поруч) відгук другої похідної виявляється значно сильнішим за відгук першої похідної. Це не повинно бути несподіваним - у завданні підкреслення різких переходів друга похідна в порівнянні з першою є набагато дієвішою, а значить слід чекати, що посилення дрібних деталей (включаючи шум) за допомогою другої похідної буде значно сильнішим, ніж за допомогою першої похідної. Тонка лінія (у даній проекції) також являє собою дрібний елемент, і можна побачити ту ж різницю між двома похідними. Але навіть якщо б максимальна яскравість на лінії співпадала з яскравістю окремої точки, відгук другої похідної на точці був би все одно більшим. Нарешті, на сходинці відгуки обох похідних співпадають(у більшості випадків, коли сходинка дещо розфокусована, відгук другої похідної буде слабкіший). Можна помітити, що значення другої похідної мають коливання з позитивних значень у негативні. На зображенні це виглядає як подвійна лінія. Також цікаво, що якщо амплітуда тонкої лінії співпадає з величиною перепаду, то відгук другої похідної на лінії буде більшим, ніж на перепаді.

На закінчення, порівнюючи відгуки першої та другої похідних, можна відмітити наступне. (1) Перша похідна зазвичай дає в результаті товстіші контури. (2) Друга похідна дає більший за величиною відгук на дрібні деталі - як на окремих точках, так і на тонких лініях. (3) Відгук на сходинку у першої похідної як правило вище, ніж у другої. (4) На похилих контурах друга похідна дає подвійний відгук. Відносно другої похідної можна також в відмітити, що при однакових амплітудах зміни сигналу, вона дає сильніший відгук на лінії, ніж на сходинці, а на окремій точці - сильніший, ніж на лінії.