3. Частотні фільтри підвищення різкості

У попередньому розділі було показано, що зображення може бути згладжене шляхом придушення високочастотних складових його фур’є-перетворення. Оскільки контури й інші стрибкоподібні зміни яскравості пов’язані з високочастотними складовими, підвищення різкості зображення може бути досягнуто в частотній області за допомогою процедури високочастотної фільтрації, яка навпаки, пригнічує низькочастотні складові й не зачіпає високочастотну частину фур’є-перетворення. Як і раніше ми розглядаємо центральносиметричні фільтри нульового фазового зсуву.

Оскільки аналізовані в цьому розділі фільтри призначені для виконання операції, в точності протилежної тій, яку здійснювали розглянуті в попередньому розділі низькочастотні фільтри, то передавальна функція обговорюваних високочастотних фільтрів може бути отримана за допомогою наступного співвідношення:

(6.15)

де - передавальна функція відповідного низькочастотного фільтра. Таким чином, частоти, що послаблюються низькочастотним фільтром, пропускаються високочастотним фільтром, і навпаки.

У цьому розділі ми розглядаємо ідеальні високочастотні фільтри. Як і в попередньому розділі, ми вивчаємо властивості цих фільтрів як в частотній, так і в просторовій областях. На рис. 6.8 представлені тривимірні і напівтонові зображення, а також профіль типового ідеального високочастотного фільтру. Нагадаємо, що для отримання просторового представлення фільтра, заданого в частотній області, необхідно: (1) помножити функцію фільтра H(u,v) на для центрування; (2) обчислити зворотне ДПФ; (3) помножити дійсну частину зворотного ДПФ на .

Рис. 6.8. (а) Перспективне зображення; (б) півтонове зображення та (в) профіль типового ідеального високочастотного фільтра

3.1. Ідеальні фільтри високих частот

Двовимірні ідеальні високочастотні фільтри (ідеальні фільтри високих частот, ІФВЧ) визначаються формулою

(6.16)

де - частота зрізу, що дорівнює відстані від центру частотного прямокутника, а величина D(u,v) задається формулою (6.12). Це прямо випливає з (6.15) та (6.11). Як і слід було очікувати, дія цього фільтра протилежна до дії ідеального низькочастотного фільтра в тому сенсі, що він занулює всі частоти, що потрапляють в середину кола радіуса , одночасно пропускаючи без послаблення всі частоти, що лежать поза колом. Як і у випадку ідеального низькочастотного фільтра, ІФВЧ не може бути реалізований за допомогою електронних пристроїв. Однак оскільки він може бути реалізований за допомогою комп’ютера, ми розглянемо його для повноти.

Виходячи із співвідношення (6.15), яке пов’язує фільтри високих і низьких частот, ми вправі очікувати, що ІФВЧ володіють подібними властивостями відносно дзвону, як і ІФНЧ (див. рис. 6.9(a)). Це ясно демонструє рис. 6.10, який складається з результатів обробки вихідного зображення, представленого на рис. 6.5(a), за допомогою різних ІФВЧ зі значеннями частоти зрізу =15, 30, і 80 пікселів, відповідно. Дзвін на рис. 6.10(a) настільки великий, що він призвів до деформування і потовщення меж об’єктів (подивіться, наприклад, на велику букву «а»). Кордони трьох верхніх кіл майже не видно, оскільки їх контраст малий у порівнянні з контрастами інших об’єктів на зображенні (яскравість цих трьох об’єктів набагато ближча до яскравості фону, що призводить до меншої величини розривів). Якщо подивитися на розмір «плями» на зображенні ІФВЧ (див. рис. 6.9(a)) і згадати, що фільтрація в просторовій області є згорткою фільтра з зображенням, то це допоможе пояснити, чому маленькі об’єкти й лінії виглядають як майже цілком білі. Подивіться, зокрема, на три маленьких квадрата у верхньому ряду й на тонкі вертикальні смуги. Ситуація до певної міри поліпшується в разі =30. Деформація контурів все ще досить очевидна, але тепер ми починаємо бачити фільтрацію на маленьких об’єктах. Вже добре знайоме зворотне співвідношення між шириною фільтра в частотній і просторовій областях говорить про те, що розмір плями цього фільтра менший, ніж розмір плями фільтра з =15. Результат для =80 близький до того, як повинен виглядати результат високочастотної фільтрації. Контури тут набагато більш рівні й менш спотворені, і маленькі об’єкти відфільтровані належним чином.

Рис. 6.9. Представлення в просторовій області типового високочастотного ідеального фільтра. Внизу представлений відповідний профіль яскравості

Рис. 6.10. Результати застосування до зображення на рис. 6.5 (a) ідеальних фільтрів високих частот =15, 30 і 80, відповідно. Викликані дзвоном проблеми цілком очевидні на фрагментах (а) і (б)