2. Згладжуючі частотні фільтри

Як вже зазначалося, контури й інші різкі перепади яскравості на зображенні (наприклад, пов’язані з шумом) вносять значний внесок в високочастотну частину його фур’є-перетворення. Отже, згладжування («розмивання») досягається в частотній області ослабленням високочастотних компонент певного діапазону фур’є-образу даного зображення.

Наша базова "модель" фільтрації в частотній області задається рівністю (5.27), яку ми наведемо тут ще раз для зручності:

, (6.10)

де F(u,v) - фур’є-образ зображення, який підлягає згладжуванню. Мета полягає у виборі передавальної функції H(u,v), яка послабить високочастотні компоненти F(u,v) і сформує функцію G(u,v).

2.1. Ідеальні фільтри низьких частот

Найпростіший фільтр низьких частот, який можна представити, - це фільтр, який обрізає всі високочастотні складові фур’є-образу, що знаходяться на більшій відстані від початку координат (центрованого) перетворення, ніж деяка задана відстань . Такий фільтр називається двовимірним (2D) ідеальним низькочастотним фільтром (ідеальним фільтром низьких частот, ІФНЧ), і має передавальну функцію

(6.11)

де - задана ненегативна величина, a D(u,v) означає відстань від точки (u,v) до початку координат (центру частотного прямокутника). Якщо розглянуте зображення має розмір MxN, то, як ми знаємо, той самий розмір має його фур’є-образ. Отже центр частотного прямокутника знаходиться в точці (u,v)=(M/2,N/2), оскільки фур’є-перетворення було центровано, як обговорювалося у зв’язку з рівністю (5.21). У такому випадку відстань від довільної точки (u,v) до центру (початку координат) фур’є-перетворення задається формулою

(6.12)

На рис. 6.4(a) приведене тривимірне зображення в перспективі графіка H(u,v) як функції и та v, а на рис. 6.4(б) функція H(u,v) представлена як зображення. Назва ідеальний фільтр вказує на то, що усі частоти всередині кола радіусом D₀ проходять без змін, у той час як усі частоти зовні кола пригнічуються повністю.

Рис. 6.4. (а) Зображення в перспективі графіка передавальної функції ідеального низькочастотного фільтру; (б) представлення фільтра у вигляді зображення; (в) радіальний профіль фільтра

Розглянуті тут низькочастотні фільтри володіють центральною симетрією відносно початку координат. Це означає, що одного радіального профілю, тобто функції відстані від початку координат, достатньо для того, щоб задати фільтр (див. рис. 6.4(б)). Повна передавальна функція фільтра отримується обертанням профілю на 360 ° навколо початку координат.

Та точка профілю радіального низькочастотного фільтра, в якій відбувається перехід від значень H(u,v)=1 до значень H(u,v)=0 називається частотою зрізу. У випадку, показаному на рис. 6.4, наприклад, частота зрізу дорівнює . Різке обрізання частот, властиве ідеальному низькочастотному фільтру, не може бути здійснене в електронних пристроях, хоча, звичайно, може бути реалізовано під час комп’ютерних обчислень.

Порівнюючи представлені в цьому розділі низькочастотні фільтри, ми досліджуємо їх поведінку як функцію однакових частот зрізу. Один із способів ввести еталонний набір умов обрізання частот полягає в тому, щоб визначити кола, в яких міститься задана частина повної енергії зображення Р_Т. Повна енергія визначається як сума компонент енергетичного спектру в усіх точках (u,v), u=0,1,2,...,М-1 і v=0,1,2,...,N-1, тобто

(6.13)

де величини P(u,v) визначається формулою (5.20). Частота визначається як радіус кола з центром в центрі частотного прямокутника, що містить відсотків енергії спектра, тобто

(6.14)

причому підсумовування в останній формулі йде за значеннями (u,v), що знаходяться всередині кола або на його кордоні.

Приклад 6.1. Енергія зображення як функція відстані від центру ДПФ

На рис. 6.5(a) показаний тестовий приклад, який ми використовували для демонстрації ефекту просторового згладжування. Фур’є-спектр цього зображення показаний на рис. 6.5(б). Накладені на спектр кола мають радіуси 5, 15, 30, 80 і 230 пікселів. У цих колах ся відсотків енергії зображення, = 92,0, 94,6, 96,4, 98,0, та 99,5%, відповідно.

Рис. 6.5 (а) Зображення розмірами 500x500 пікселів і (б) його фур’є-спектр. Накладені кола мають радіуси 5, 15, 30, 80 і 230 пікселів і містять у собі 92,0, 94,6, 96,4, 98,0, та 99,5% відсотків енергії зображення, відповідно

Спектр убуває досить швидко, 92% повної енергії знаходиться у відносно малому колі радіуса 5.

На рис. 6.6 показані результати застосування ідеального низькочастотного фільтру з частотами зрізу, рівними значенням радіусів на рис. 6.5(б). Результат на рис. 6.5(б) практично абсолютно даремний, якщо тільки задача згладжування не полягає в усуненні всіх деталей зображення, за винятком плям, які являють великі об’єкти. Дуже сильне розмивання на цьому зображенні ясно вказує, що більша частина інформації про різкі деталі на зображенні міститься в 8% енергії, що відрізається фільтром. У міру збільшення радіусу фільтру, все менша й менша частина енергії підлягає відрізанню, що виражається в зменшенні ступеня розмиття. Відзначимо, що для зображень на рис. 6.6(б) - (д) характерний «дзвін» (що виражається в появі помилкових контурів навколо контурів реальних), структура якого стає тоншою в міру зменшення енергії високочастотної складової. Дзвін добре помітний навіть на зображенні, з якого видалено лише 2% и повної енергії. Обговорюване явище, як буде незабаром пояснено, є характерним для ідеальних фільтрів.

Рис. 6.6.(а) Вихідне зображення; (б)-(е) результати фільтрації ідеальними низькочастотними фільтрами з частотами зрізу 5, 15, 30, 80 і 230 (відповідні кола на рис. 6.5 (б)). Фільтри відсікають 8,0, 5,4, 3,6, 2,0, і 0,5% повної енергії відповідно

Нарешті, ретельний розгляд результату для = 99,5% демонструє дуже невелике розмиття в областях, що містять шум, притому що в іншому це зображення вельми близьке до оригіналу. Це показує, що в розглянутому окремому випадку верхні 0,5% енергії спектра містять малу кількість контурної інформації.

З наведеного прикладу зрозуміло, що ідеальні фільтри низьких частот не мають великого практичного значення. Однак, оскільки такі фільтри можуть бути реалізовані на комп’ютері, їх вивчення корисно в рамках розвитку наших загальних уявлень про методи фільтрації. Крім того, як показує подальше обговорення, спроби пояснити появу дзвону для ІФНЧ в просторовій області, дозволяють досягти деякого додаткового розуміння.

Виникаючі під час використання ІФНЧ ефекти розмивання і появи помилкових контурів можуть бути пояснені за допомогою теореми про згортку. Початкове зображення f(x,у) і згладжене зображення g(x,y), яке одержується після фільтрації, пов’язані в частотній області співвідношенням

де, як і раніше, H(u,v) - передавальна функція фільтра, a F i G - фур’є-перетворення двох згаданих зображень. Теорема про згортку говорить про те, що відповідна процедура в просторовій області може бути записана у вигляді

де h(x,y) - зворотне перетворення Фур’є від функції H(u,v).

Ключ до розуміння розмиття в процесі згортки лежить в природі функції h(x,y). Наприклад, ідеальний низькочастотний фільтр радіуса 5, що викликав настільки велике розмиття у попередньому прикладі, показаний на рис. 6.7(a). На цьому рисунку представлена функція H(u,v) в частотній області. Просторова функція h(x,y) для цього фільтра була отримана стандартним чином: (1) функція H(u,v) була помножена на для центрування; (2) потім було здійснене зворотне ДПФ; (3) дійсна частина зворотного ДПФ була помножена на . Отриманий результат представлений на рис. 6.7(б).

Ми бачимо, що фільтр володіє двома головними ознаками: розташованою в центрі домінуючою складовою і розташованими навколо неї коловими концентричними складовими. Розмиття головним чином обумовлене центральною складовою. Спостережувана при застосуванні ідеальних фільтрів поява помилкових контурів головним чином обумовлена коловими концентричними складовими.

Рис. 6.7. (а) ІФНЧ радіуса 5 в частотній області; (б) відповідний фільтр в просторовій області (зверніть увагу на концентричні кільця); (в) п’ять імпульсів у просторовій області (п’ять яскравих точок); (г) згортка (б) і (в ) у просторовій області

Як радіус центральної компоненти, так і число кіл на одиницю довжини по напряму від центру обернено пропорційні значенню частоти зрізу ідеального фільтра. Графік у правому верхньому куті рисунка являє собою профіль яскравості вздовж горизонтальної прямої, що проходить через центр фільтра в просторовій області. Проведена на графіку вісь відповідає нульовій амплітуді, і ми бачимо, таким чином, що просторовий фільтр приймає і негативні значення. Зазвичай це не призводить до серйозних ускладнень, оскільки при обчисленні згортки домінуючу роль відіграє велика центральна компонента. Однак після фільтрації зображення може мати негативні значення, і тому зазвичай потрібна процедура градаційної корекції.

Припустимо тепер, що f(x,у) являє собою просте зображення, що складається з п’яти яскравих точок (пікселів), як показано на рис. 6.7(б). Ці точки можуть розглядатися як імпульсні функції, амплітуда яких визначається яскравістю точок. У цьому випадку операція згортки функцій h(x,y) і f(x,y) зводиться до лінійної суперпозиції зсувів функції h, при яких її центр опиняється в точках локалізації кожного з імпульсів. Відповідний результат наведено на рис. 6.7(г). Зі сказаного стає зрозуміло, чому в результаті згортки функції f(x,у) з передавальної функцією фільтра h(x,y) точки вихідного зображенні виявляються розмитими. Також стає зрозуміло і походження дзвону. У дійсності ефект в розглянутому випадку настільки великий, що в результаті інтерференції коливань яскравості, супутніх кожному з імпульсів, виникають помітні спотворення. Наведені міркування можна поширити на більш складні зображення, якщо розглядати кожну точку як імпульсну функцію з амплітудою, пропорційної яскравості даної точки. Графік у лівому нижньому куті малюнка являє собою профіль яскравості вздовж діагоналі, що проходить через центр відфільтрованого зображення.

Зворотна залежність між шириною функції H(u,v) і шириною функції h(x,y) (з урахуванням тільки що розглянутого механізму згортки) дає математичне пояснення того, чому розмиття й дзвін посилюються під час зменшення ширини використовуваного фільтра в частотній області.