1. Відповідність між фільтрацією в просторовій області й фільтрацією в частотній області
У попередньому розділі ми підійшли до різних видів просторових фільтрів, ґрунтуючись на інтуїтивних міркуваннях і / або на математичних конструкціях, таких як лапласіан. У цьому параграфі ми встановимо прямий зв’язок між деякими з цих фільтрів і їх аналогами в частотному просторі.
Найбільш важливий взаємозв’язок просторової та частотної областей фільтрації встановлюється відомим результатом, що носить назву теорема про згортку. В основі операції згортки лежить процедура, при якій ми рухаємо деяку маску по зображенню від елементу до елементу і для кожного елемента обчислюємо деяку наперед певну величину. Формально дискретна згортка двох функцій f(х,y) і h(x,у) розмірами MxN визначається виразом
(6.2)
і
позначається символом
.
З точністю до множника 1/MN,
знаків мінус і меж підсумовування в
правій частині цей вираз збігається за
формою з (4.1). Знаки мінус, зокрема,
означають, що функція дзеркально
відображається відносно початку відліку,
що характерно для визначення згортки.
Рівність (6.2) означає ніщо інше, як
виконання наступній послідовності дій:
(1) дзеркальне відображення однієї з
функцій відносно початку координат,
(2) зсув цієї функції по відношенню до
іншої на величини (х,у);
та (3) обчислення суми добутків за всіма
значеннями m
і n
для всіх значень зсувів (х,у).
Ці зсуви - це цілі прирости аргументів,
що припиняються, коли функції перестають
перекриватися.
Якщо F(u,v) і H(u,v) позначають відповідно фур’є-образи функцій f(x,y) і h(х,у), то одна половина теореми про згортку стверджує, що функції і F(u,v)H(u,v) утворюють фур’є-пару. Це може бути формально записано у вигляді
(6.3)
Подвійна стрілка вказує на те, що лівий вираз (просторова згортка) може бути отриманий із застосуванням зворотного перетворення Фур’є до правого виразу (добутку F(u,v)H(u,v) в частотній області) і, навпаки, вираз праворуч може бути отриманий застосуванням прямого перетворення Фур'’є до виразу зліва. Схожий результат полягає в тому, що згортка в частотній області призводить до множення в просторовій області і навпаки, тобто
(6.4)
Ці два результати складають теорему про згортку.
Щоб
довести до кінця розгляд зв’язків між
просторовою та частотною областями,
нам буде потрібно ще одне поняття.
Імпульсна
функція
(або імпульс)
з інтенсивністю
А,
локалізована в точці з координатами
(
),
для якої ми будемо використовувати
позначення
визначається
виразом
(6.5)
На
словах це означає, що підсумовування
будь-якої функції
,
помноженої на імпульс, дає значення
цієї функції в точці локалізації
імпульсу, помножене на амплітуду
імпульсу. Зрозуміло, що підсумовування
ведеться по всій області визначення
функції. Відзначимо, що імпульсна функція
також є зображенням розміру MxN. Воно
складається з нулів за винятком точки
з координатами(
),
в якій значення зображення дорівнює А.
Підставивши
в якості функції f
або h
в (6.2) імпульсну функцію, і використовуючи
її визначення (6.5), ми можемо зробити
висновок, після нескладних обчислень,
що згортка функції з імпульсною функцією
«копіює» значення першої в точці
локалізації останньої. Ця властивість
імпульсної функції називається
властивістю
відсіювання.
Особливу важливість в даний момент
представляє випадок одиничної імпульсної
функції, локалізованої на початку
координат, яка позначається
(х,у).
У цьому випадку
(6.6)
Озброєні цими нехитрими засобами, ми тепер готові встановити найбільш цікавий і корисний зв’язок між фільтрацією в просторовій області й фільтрацією в частотній області. Обчислимо фур’є-образ одиничного імпульсу на початку координат (тобто u=0, v=0) за формулою (5.16):
(6.7)
Друга частина цієї рівності випливає з (6.6). Таким чином, ми бачимо, що фур’є-образ одиничного імпульсу на початку координат просторової області являє собою дійсну постійну функцію (дійсність означає, що фаза дорівнює нулю). Якби імпульс був локалізований де-небудь в іншому місці, фур’є-образ мав би комплексні компоненти. Амплітуда залишилася б без змін, а зсув імпульсу призвів би до появи ненульової фази фур’є-образу.
(6.8)
причому остання частина рівності випливає з (6.5), оскільки х і у є змінними підсумовування. Об’єднуючи (6.7) і (6.8) з (6.3), отримуємо
;
(6.9)
Використовуючи виключно властивості імпульсної функції й теорему про згортку, ми встановили, що фільтри в просторовій і частотній областях утворюють фур’є-пару. Таким чином, за заданим в частотній області фільтром ми можемо отримати відповідний фільтр у просторовій області, застосувавши до першого зворотне перетворення Фур’є. Вірно також і протилежне твердження.