3. Фільтрація в частотній області

Як зазначалося, частотна область являє собою ніщо інше як простір, в якому приймають значення змінні (u,v) фур’є-перетворення. У цьому параграфі ми додамо цьому поняттю той зміст, який воно несе в обробці зображень.

Деякі основні властивості частотної області

Ми почали з того спостереження, що, відповідно до (5.16), кожен елемент фур’є-образу F(u,v) містить всі відліки функції f(x,y), помножені на значення експоненціальних членів. Тому зазвичай, за винятком тривіальних випадків, неможливо встановити пряму відповідність між характерними деталями зображення та його образу. Однак деякі загальні твердження щодо взаємозв’язку частотних складових фур’є-образу і просторових характеристик зображення можуть бути зроблені. Наприклад, оскільки частота прямо пов’язана зі швидкістю зміни сигналу, то інтуїтивно ясно, що частоти в фур’є-перетворенні пов’язані з варіацією яскравості на зображенні. У попередньому параграфі було показано, що найбільш повільно змінюється (постійна) частотна складова (u=v=0) збігається з середньою яскравістю зображення. Низькі частоти, що відповідають точкам поблизу початку координат фур’є-перетворення, відповідають повільно мінливих компонентам зображення. На зображенні кімнати, наприклад, вони можуть відповідати плавним змін яскравості стін і підлоги. У міру віддалення від початку координат, більш високі частоти починають відповідати все більш швидким змінам яскравості - границі об’єктів та інших деталей зображення, що характеризуються різкими змінами яскравості, таких як шум.

Приклад 5.3. Зображення та його фур’є-спектр, що демонструють деякі важливі властивості

Пояснюючий приклад допоможе краще зрозуміти суть вищесказаного. На рис. 5.4(a) представлено збільшене приблизно в 2500 разів зображення інтегральної схеми, отримане за допомогою скануючого електронного мікроскопа. Крім власне конструкції, ми бачимо дві характерні деталі. Це - різкі контури деталей, що проходять під кутом приблизно ± 45°, і пара білих оксидних плям, які виступили назовні в результаті невдало проведеної термічної обробки. У фур’є-спектрі на рис. 5.4(б) добре видно діагональні складові, які відповідають згаданим контурам. При уважному розгляді області, розташованої вздовж вертикальної осі, можна помітити частотну складову, злегка повернену проти годинникової стрілки. Наявність цієї складової обумовлена контурами оксидних плям. Звернемо увагу на те, як кут повороту цієї частотної складової, пов’язаний з відхиленням довгої білої плями від горизонталі. Звернемо також увагу на положення нулів цієї частотної складової, пов’язане з малим поперечним розміром оксидних плям.

Рис. 5.4. (а) Зображення пошкодженої інтегральної схеми, отримане з допомогою скануючого електронного мікроскопа; (б) Фур’є-спектр (а)

Наведений приклад дає приклад того, які типи зв’язків взагалі можуть бути встановлені між частотною та просторовою областями. Протягом всього цього розділу ми висвічуємо той факт, що навіть такі очевидні типи зв’язків разом зі згаданою вище залежністю між частотними складовими і швидкістю зміни яскравості на зображенні можуть призводити до багатьох дуже корисних для покращення зображень результатів.

Основи фільтрації в частотній області

Процедура фільтрації в частотній області доволі проста і складається з наступних кроків:

1. Початкове зображення множиться на , щоб його фур’є-перетворення виявилося, у відповідності до (5.21), центрованим;

2. Вираховується пряме ДПФ F(u,v) зображення, отриманого після кроку 1;

3. Функція F(u,v) множиться на функцію фільтра H(u,v);

4. Обчислюється зворотне ДПФ від результату кроку 3;

5. Виділяється дійсна частина результату кроку 4;

6. Результат кроку 5 множиться на .

Причина, за якої множник H(u,v) називається фільтром (часто використовується також термін передавальна функція фільтра) полягає в тому, що він пригнічує деякі частоти перетворення, залишаючи при цьому інші без зміни.

Нехай f(x,у) визначає вхідне зображення після кроку 1, і нехай F(u,v) є його фур’є-образ. Тоді фур’є-образ вихідного зображення визначається виразом

(5.27)

Множення функцій двох змінних Н і F здійснюється поелементно. У загальному випадку компоненти фільтра H є комплексними величинами, але фільтри зазвичай є дійсними. У цьому випадку і дійсна, і уявна частини функції F множаться на одну й ту саму дійсну функцію фільтра Н. Такі фільтри називаються фільтрами нульового фазового зсуву. Як і випливає з назви, ці фільтри не змінюють фазу фур’є-перетворення. Це видно з (5.19), якщо врахувати, що загальний для дійсної та уявної частини множник скорочується.

Фільтроване зображення виходить обчисленням зворотного перетворення Фур'є від фур'є-образу G (u, v):

Фільтроване зображення (5.28)

Шукане зображення знаходять виділенням дійсної частини з останнього результату і множенням на , щоб компенсувати ефект від множення вхідного зображення на ту саму величину. Зворотне фур’є-перетворення в загальному випадку є комплексним. Однак у випадку дійсного вхідного зображення і дійсної передавальної функції фільтра уявні частини всіх значень зворотного фур’є-перетворення повинні дорівнювати нулю. Однак на практиці значення зворотного фур’є-перетворення, як правило, містять паразитну уявну складову, що пов’язано з помилками заокруглення під час обчислень. Цією складовою необхідно знехтувати.

Тільки що описана процедура фільтрації схематично відображена на рис. 5.5 у більш загальному вигляді, що включає стадії попередньої і заключної обробки. Крім множення на , така обробка може включати обрізання вхідного зображення так, щоб його розміри прийняли найближчі парні значення по відношенню до вихідних (це необхідно для правильного центрування фур’є-перетворення), яскравісне масштабування, перетворення формату вхідних даних у формат з плаваючою комою і перетворення формату вихідних даних у 8-бітові цілі. Можливі багатоступінчасті процедури фільтрації, а також різноманітні операції попередньої і заключної обробки.

Рис. 5.5. Основні етапи фільтрації в частотній області

Лекція 6. Цифрові фільтри

Мета: Метою даної лекції полягає у дослідженні основних типів цифрових фільтрів, які застосовуються для фільтрації зображень.

План: 1. Фільтри низьких частот. 2. Фільтри високих частот. 3. Гомоморфна фільтрація.

Вступ

На цей момент ми заклали основи фільтрації в частотній області. Наступним логічним кроком є розгляд деяких характерних фільтрів і їх впливу на зображення. Проведене раніше обговорення формули (5.22) ідеально підводить нас до розгляду найпростішого прикладу. Припустимо, що ми хочемо обернути в нуль середнє значення на зображенні. Відповідно до (5.22) це середнє значення задається величиною F(0,0). Зануливши цей член в частотній області та здійснивши зворотне перетворення, ми отримаємо середнє значення отриманого зображення рівне нулю. У припущенні, що зображення було попередньо відцентроване так, як це обговорювалося в зв’язку з (5.21), ми можемо здійснити таку операцію множенням всіх значень F(u,v) на наступну функцію фільтра:

(6.1)

Вся дія такого фільтра зведеться до того, що значення F(0,0) буде обернене в нуль, а інші частотні компоненти фур'’є-перетворення залишаться незмінними, що й потрібно. Оброблене зображення (з нульовим середнім) потім може бути отримано, як показує (5.28), зворотним фур’є-перетворенням функції H(u,v)F(u,v). Як було визначено раніше, і дійсна, і уявна частина функції F(u,v) множаться на функцію фільтра H(u,v).

Розглянутий тільки що фільтр називається фільтр-пробка, оскільки він являє собою постійну функцію з вирізом (діркою) на початку координат. Результат обробки зображення, представленого на рис. 5.4 (a), даними фільтром показаний на рис. 6.1. Відзначимо падіння загальної яскравості в результаті примусового занулення середнього значення; відзначимо також побічний результат, що полягає у виділенні контурів. (В дійсності середнє значення яскравості зображення, яке виводиться на екран, не може дорівнювати нулю, оскільки для цього деякі елементи зображення повинні бути негативними, а монітор не може оперувати з негативними величинами. Рис 6.1 представлений стандартним чином, при якому найменше від’ємне значення відповідає нулю, або чорному, а інші значення збільшені з урахуванням цього.)

Рис. 6.1. Результат фільтрації зображення рис. 5.4 (a) за допомогою фільтра-пробки, який занулює член F(0,0) фур’є-перетворення

Низькі частоти фур’є-перетворення відповідають за виникнення переважаючих значень яскравості на гладких ділянках зображення, в той час як високі частоти відповідальні за такі деталі, як контури і шум. Фільтр, який послаблює високі частоти, одночасно пропускаючи низькі, називається низькочастотним фільтром. Фільтр, що володіє протилежними властивостями, називається, відповідно, високочастотним фільтром. Можна очікувати, що, після застосування низькочастотної фільтрації, зображення, порівняно з вихідним, містить менше різких деталей, оскільки високі частоти пригнічені. Аналогічно, після застосування високочастотної фільтрації, на зображенні зменшуються зміни яскравості в межах великих гладких областей і виділяються перехідні зони швидкої зміни яскравості (тобто контури). Таке зображення виглядає більш різким.

Рис 6.2 ілюструє вплив низькочастотної і високочастотної фільтрації на зображення на рис. 5.4 (a). У лівій частині малюнка показані фільтри, а в правій - результати фільтрації з використанням процедури, схематично представленої на рис. 5.5. Обидва представлених фільтра H(u,v) є центрально-симетричними. Після сполучення початку координат фільтрів з центром частотного прямокутника, вони множаться на центроване фур’є-перетворення F(u,v) так, як було намічено при обговоренні формул (5.27), (5.28) і рис. 5.5. Взяття дійсної частини від кожного з результатів і множення їх на , дає зображення в правій частині рисунка. Як і очікувалося, зображення на рис. 6.2(б) є розмитим, а на рис. 6.2(г) - різким, з малим рівнем яскравостей всередині гладких областей внаслідок занулення члена F(0,0).

Рис. 6.2. (а) Двовимірна передавальна функція фільтра низьких частот; (б) результат низькочастотної фільтрації зображення рис. 5.4 (a); (в) двовимірна передавальна функція фільтра високих частот; (г) результат високочастотної фільтрації зображення рис. 5.4 (a)

Це типово для результатів високочастотної фільтрації, і тому часто виконується процедура, яка полягає в додаванні до фільтру деякої постійної для того, щоб складова F(0,0) не знищувалася повністю. Результат такої процедури представлений на рис. 6.3. Покращення в порівнянні з рис. 6.2(г) очевидне.

Рис. 6.3. Результат високочастотної фільтрації зображення рис. 4.4 (a) з використанням фільтра на рис. 6.1, зміненого шляхом додавання до нього передавальної функції константи, рівній половині висоти фільтра. Порівняйте з рис. 4.4 (a)