Задания для самостоятельной работы

Задача 1. Отрасль состоит из четырех предприятий: вектор выпуска продукции и матрица коэффициентов прямых затрат имеют вид

, .

Найти вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли.

Задача 2. Предприятие выпускает три вида продукции с использованием трех видов сырья, характеристики производства указаны в табл. 9.3.

Таблица 9.3

Данные по выпуску продукции

Вид сырья	Расход сырья по видам продукции, вес. ед./изд.			Запас сырья, вес. ед.
	1	2	3
1 2 3	5 10 9	12 6 11	7 8 4	2350 2060 2270

Найти объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Задача 3. В условиях примера 2 из 2.3.3 определить прирост объемов валовых выпусков по каждой отрасли (в процентах), если конечное потребление увеличить по отраслям, соответственно, на 30, 10 и 50 %. Решить задачу методом обратной матрицы и методом Гаусса.

Задача 4. Исследовать на продуктивность матрицу

.

Найти запас продуктивности.

Лекция 10. Линейные экономические модели: модель равновесных цен, модель международной торговли Модель равновесных цен

Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А - матрица прямых затрат, (x_l, x₂,...,x_n) – вектор валового выпуска. Обозначим через (р₁, р₂, …р_n – вектор цен, i-я координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный p₁, х₁.

Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции ей необходима продукция первой отрасли в объеме a₁₁, второй отрасли в объеме а₂₁, n-й отрасли в объеме a_n1 т. д. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная a₁₁ p₁ + a₂₁ p₂ +...+ a_nl p_n. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х₁ первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму равную x₁(a₁₁p₁ + a₂₁p₂ +...+ a_n1p_n). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим V₁ (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

x₁ p₁ = x₁ (a₁₁ p₁ +a₂₁ p₂ +… +a_n1 p_n) + V₁.

Разделив это равенство на х₁ получаем

p₁ = (a₁₁ p₁ +a₂₁ p₂ +… +a_n1 p_n) + v₁,

где v₁ – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции).

Подобным же образом получаем для остальных отраслей

p₂ = a₁₂ p₁ + a₂₂ p₂ + … + a_n2 p_n +v₂

……………………………………

p_n = a_1n p₁ + a_2n p₂ +…+ a_nn p_n +v₂

Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

, (9.8)

где - вектор норм добавленной стоимости.

Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева с той лишь разницей, что заменен на , – на , А – на А^т.

Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.

Пример 34. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из трех отраслей. Назовем их условно: топливно-энергетическая отрасль, промышленность и сельское хозяйство. Пусть

• транспонированная матрица прямых затрат, = (4;10;4)

• вектор норм добавленной стоимости.

Определим равновесные цены. Для этого, как и в модели Леонтьева, воспользуемся формулой (9.8):

,

где С^Т = (Е - А^Т)^-1 транспонированная матрица полных затрат.

После необходимых вычислений имеем

Отсюда получаем, что .

Допустим теперь, что в топливно-энергетической отрасли произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 1,11. Определим равновесные цены в этом случае. Принимая во внимание, что (5,11;10;4), находим, что

Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на 14,5 %, второй - на 3,5% третьей отрасли - на 4,17%. Нетрудно также, зная объемы выпуска, подсчитать вызванную этим повышением инфляцию.