Таблица 9

Показатели работы отраслей

Производственное потребление	Конечное потребление	Валовой выпуск

Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом i = l, ..., n должно выполняться соотношение

x_i = x_i1 + x_i2 +...+ x_in + y_i, (14)

означающее, что валовой выпуск x_i расходуется на производственное потребление, равное x_i1 + x_i2 +...+ x_in, и непроизводственное потребление, равное у_i. Будем называть (14) соотношениями баланса.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы и т.п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы. Для определенности в дальнейшем будем иметь в виду (если не оговорено противное) стоимостной баланс.

В. Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики в предвоенный период, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно, величины остаются постоянными в течение ряда лет. Это обуславливается примерным постоянством используемой технологии.

В соответствии со сказанным сделаем такое допущение: для выпуска любого объема х_j продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в качестве a_ijx_j , где а_ij – постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Это допущение постулирует, как говорят, линейность существующей технологии. Принцип линейности распространяется и на другие виды издержек. Например, на оплату труда, а также на нормативную прибыль. Итак, согласно гипотезе линейности имеем

x_ij = a_ij x_j(i, j =1, ..., n). (15)

Коэффициенты а_ij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициент материалоемкости).

В предположении линейности соотношения (14) принимают вид:

x₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … +a_1n x_n + y₁

x₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … +a_2n x_n + y₂

…………………………………..

x_n = a_n1x₁ + a_n2x₂ + … +a_nn x_n + y_n,

или, в матричной записи,

, (16)

где

Вектор называется вектором валового выпуска, вектор – вектором конечного потребления, а матрица А – матрицей прямых затрат. Соотношение (16) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов и это соотношение называют также моделью Леонтьева.

Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода [T₀,T₁] задается вектор конечного потребления. Требуется определить вектор валового выпуска. Проще говоря, нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? В этом случае необходимо решить систему линейных уравнений (16) с неизвестным вектором при заданных матрице А и вектору . При этом нужно иметь в виду следующие особенности системы (16):

1. Все компоненты матрицы А и вектора неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А и ). Для краткости будем говорить о неотрицательности самой матрицы А и вектора и записывать это так: .

2. Все компоненты вектора также должны быть неотрицательными: .

Замечание. Обратим внимание на смысл коэффициентов а_ij прямых затрат в случае стоимостного (а не натурального) баланса. В этом случае из (16) видно, что a_ij совпадает со значением х_ij при x_j = 1 (1 руб.).

Таким образом, а_ij есть стоимость продукции отрасли i, вложенной в 1 руб. продукции отрасли j. Отсюда, между прочим, видно, что стоимостной подход по сравнению с натуральным обладает более широкими возможностями, при таком подходе уже необязательно рассматривать «чистые», т. е. однопродуктовые, отрасли. Ведь и в случае многопродуктовых отраслей тоже можно говорить о стоимостном вкладе одной отрасли в выпуск 1 руб. продукции другой отрасли; скажем, о вкладе промышленной сферы в выпуск 1 руб. сельскохозяйственной продукции или о вкладе промышленной группы А (производство предметов потребления). Вместе с тем надо понимать, что планирование исключительно в стоимостных величинах может легко привести к дисбалансу потоков материально-технического снабжения.

Пример 31. Таблица 10 содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период времени. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить, соответственно, до 60, 70и 30 условных денежных единиц.

Таблица 10

Показатели работы 3 отраслей

№ п/п	Отрасль	Потребление			Конечный продукт	Валовый выпуск
		1	2	3
1 2 3	Добыча и переработка углеводородов Энергетика Машиностроение	5 10 20	35 10 10	20 20 10	40 60 10	100 100 50

Решение. Выпишем векторы валового выпуска и конечного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формуле (9.1), имеем:

, , .

Матрица А удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь

. (9.2)

Требуется найти новый вектор валового выпуска , удовлетворяющий соотношениям баланса в предположении, что матрица А не изменяется. В таком случае компоненты неизвестного вектора находятся из системы уравнений, которая в матричной форме имеет следующий вид:

, или . (9.3)

Матрица этой системы

.

Решение системы линейных уравнений (9.3) при заданном векторе правой части (9.12) (например, методом Гаусса) дает новый вектор как решение уравнений межотраслевого баланса:

.

Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку углеводородов на 52,2 %, уровень энергетики – на 35,8 % и выпуск машиностроения – на 85 % – по сравнению с исходными величинами, указанными в табл. 9.2.

Продуктивные модели Леонтьева

Определение. Матрица А  0 называется продуктивной, если для любого вектора  0 существует решение  0 уравнения (9.1)

(13)

В этом случае модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной.

Итак, модель Леонтьева продуктивна, если любой вектор  0 конечного потребления можно получить при валовом выпуске  0.

Нижеследующая теорема 1 показывает, что нет необходимости требовать существования решения  0 уравнения (9.1) для любого вектора  0. Достаточно, чтобы такое решение существовало хотя бы для одного вектора  0.

Условимся в дальнейшем писать  0 и называть вектор положительным, если все компоненты этого вектора строго положительны.

Теорема 9.1 (первый критерий продуктивности.) Если А  0 и для некоторого положительного вектора ^* уравнение (7.3) имеет решение ^*  0, то матрица А продуктивна.

Заметим, что на самом деле > 0, что следует из ^* = А ^* + ^* и А  0, ^* 0, ^*  0.

Уравнение Леонтьева (9.1) можно записать следующим образом:

(Е - А) = , (9.4)

где Е - единичная матрица.

Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы Е - А.

Понятно, что если обратная матрица (Е - А)^-1 существует, то из (9.4) вытекает

(Е - А)^-1 (9.5)

Следующая теорема дает более эффективное условие продуктивности, чем теорема 9.1

Теорема 9.2 (второй критерий продуктивности). Матрица А  0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е – А)^-1 существует и неотрицательна.

Доказательство. Если (Е – А)^-1 существует и  0, то из формулы (9.5) следует продуктивность матрицы А.

Обратно, пусть матрица А продуктивна, Рассмотрим следующие системы уравнений:

(Е – А) , (Е – А) ,..., (Е – А) , где е₁, е₂,…, е_n – столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такие векторы (столбцы)  0,   0,...,  0, что

(Е – А) = , (Е – А) = ,..., (Е – А) = . (9.6)

Обозначим через С матрицу, составленную из столбцов с₁,с₂,...,с_п. Тогда вместо п равенств (9.6) можно написать одно: (Е – А)С = Е.

Следовательно, матрица (Е – А) имеет обратную С, причем С  0. Теорема доказана.

Пример 32. Исследуем на продуктивность матрицу

В данном случае

Необходимые вычисления предоставим читателю провести самостоятельно. Получаем матрицу (Е – А)^-1, которая существует и равна

Мы видим, что эта матрица неотрицательна. Следовательно, А продуктивна.

Теорема 3. (третий критерий продуктивности). Матрица А  0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходиться бесконечный ряд.

Е + А + А² + ... (9.7)

Полученный нами критерий продуктивности матрицы А (сходимость ряда (9.7)) в ряде случаев может быть использован для проверки матрицы А на продуктивность. Покажем, например, что если сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы А меньше 1^*, то А продуктивна. Действительно, пусть q - наибольшая из указанных сумм, q <1. Ясно, что тогда все элементы матрицы А не превосходят q. Из правила перемножения матриц легко вывести, что любой элемент матрицы А² не превосходит q²:

(A²)_ij = a_i1a_jl + a_i2a_j2 +...+ a_ina_nj  q (a_i1 +...+ a_nj) < q² <1.

Точно так же получим, что элементы матрицы А³ не превосходит q³ и т.д. Отсюда следует сходимость ряда (9.7), а значит, и продуктивность матрицы А.

Например для матрицы

сумма элементов каждого столбца меньше единицы. Следовательно, А продуктивна.

Аналогично доказывается, что если в неотрицательной матрице А сумма элементов любой строки меньше 1, то матрица А продуктивна. Впрочем, то же самое можно вывести и из следующего предложения: если продуктивна матрица А, то продуктивна и матрица А^т ,что следует из теоремы 2.

Пусть А 0 – продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы А назовем такое число , что все матрицы , где 1< <1 + , продуктивны, а матрица (1+ )А – не продуктивна.

Пример 33. Выяснить, какой запас продуктивности имеет матрица А из примера 30.

Решение. Будем руководствоваться критерием продуктивности из теоремы 2 (существование неотрицательной матрицы (Е – А)^-1). В данном случае

Определитель этой матрицы

.

Обратной матрицей будет

.

Для продуктивности нужно, чтобы все элементы обратной матрицы были неотрицательны, т.е. , , . Имеем при , . Отсюда матрица продуктивной при , т.е. . Запас продуктивности матрицы А равен 0,015.