Аппроксимация гиперболической функцией
В расчетах динамический ряд может быть описан уравнением гиперболы
.
Для
гиперболической зависимости способ
наименьших квадратов дает такую систему
нормальных уравнений (
понимается как
):
.
Решая это уравнение способом определителей, находим
;
.
Пример 30. За период 1999-2004гг. известен товарооборот регионального склада (табл. 6). Сделайте прогноз товарооборота регионального склада на 2005-2006гг.
Таблица 6
Товарооборот регионального склада за период 1999-2994гг.,
млн. усл. ден. ед.
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
70 |
100 |
140 |
180 |
200 |
240 |
Решение.
По данным табл. 6. строим график изменения
товарооборота. Она изменяется по
гиперболе. Эта связь между указанными
признаками соответствует уравнению
гиперболы
.
график
В этой формуле необходимо определить параметры a и b.
Для нахождения параметров a и b составим табл. 7. Определив параметры a и b, мы составим уравнение гиперболы для прогнозирования товарооборота в 2005-2006гг.
Табл. 7
Таблица нахождения параметров a и b
Х |
1/Х |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
70 |
0,01428 |
70,0 |
2 |
0,5 |
0,25 |
100 |
0,01000 |
50,0 |
3 |
0,33 |
0,109 |
140 |
0,00714 |
46,6 |
4 |
0,25 |
0,062 |
180 |
0,00055 |
45,0 |
5 |
0,2 |
0,04 |
200 |
0,00500 |
40,0 |
6 |
|
0,029 |
240 |
0,00416 |
40,0 |
Σ21 |
Σ2,45 |
Σ1,491 |
Σ930 |
Σ0,04113 |
Σ291,6 |
.
.
Уравнение гиперболы для прогнозирования товарооборота:
.
Спрогнозируем товарооборот на 2005 и 2006 гг.
;
.
Графическое изменение товарооборота за период 1999-2006 гг приведен на рис. 7.1.
Задания для самостоятельной работы
Задача 1. В результате измерения соответствующих значений аргумента х получены значения у:
х |
-2 |
0 |
1 |
2 |
4 |
у |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
3 |
Методом наименьших квадратов найти функциональную зависимость между х и у в виде .
Задача 2. Результаты измерения дали следующие результаты:
х |
0 |
1 |
2 |
4 |
5 |
у |
1 |
1,5 |
2 |
1 |
0 |
Аппроксимировать
эти значения функцией
методом наименьших квадратов.
Задача
3. Найти показатель
– удельный показатель объема перевозок,
отнесенный на 1 млн. руб. товарооборота
в 2006г. В табл. 8 она выражается динамическим
рядом. Динамика (рис. 7.2) дает нам основание
утверждать, что изменение этого показателя
по годам имеет вид гиперболы. (Эта
тенденция может быть принята за основу
для прогнозирования этого показателя
по уравнению гиперболы:
)
Таблица 8