, .

P.S. Аналогичным образом можно выбрать наилучшую кривую по каждому типу кривой. Наиболее подходящим можно считать тот тип кривой, где будет наименьшее значение .

Наиболее часто используется функция вида , при график – прямая, при график – парабола и т.д. Иногда рассматриваются функции: , , , и т.д.

Рассмотрим подробнее некоторые случаи.

Аппроксимация прямыми, параболами

Пусть имеется множество точек наблюдений, через него всегда можно провести такую прямую , которая является «наилучшей» среди всех прямых, т.е. «ближайшей» к точкам наблюдений по их совокупности. В качестве критерия близости, как было уже сказано, используется минимум суммы квадратов разностей наблюдений зависимой переменной и теоретических, рассчитанных значений :

,

Для краткости далее обозначим через .

Для нахождения минимума функции находим:

– среднее арифметическое. Из системы получаем:

, .

В случае необходимости аппроксимации статистических данных квадратичной функцией необходимо находить минимум функции

,

решая следующую систему:

.

Пример 29. Исследовать характер изменения с течением времени уровня производства мяса и валового сбора зерна во второй половине 90-х годов, располагая следующими статистическими данными:

Таблица 1

Данные по производству мяса и зерна в России

Год	1995	1996	1997	1998	1999
Валовой сбор(млн.т.)	191,7	210,1	211,4	195,0	209,0
Производство мяса (млн.т.)	17,1	18,0	18,9	19,7	19,7

Очевидна тенденция к увеличению производства мяса, а нарастание валового сбора зерна в 1995-1997 гг. сменилось его уменьшением в дальнейшем. Поэтому имеет смысл искать зависимость производства мяса от времени в виде линейной функции, а изменение валового сбора зерна описать с помощью квадратичной функции с отрицательным старшим коэффициентом.

Вычисления значительно упростятся, если 1997 год примем за начало отсчета. Тогда таблица данных производства мяса примет вид:

Таблица 2

Приведенные данные производства мяса

Год ( )	-2	-1	0	1	2
Производство мяса ( )	17,1	18,0	18,9	19,7	19,7

Применим метод наименьших квадратов.

Результаты вычислений приведены в следующей таблице:

Таблица 3

Данные промежуточных вычислений

1	-2	17,1	-34,2	2
2	-1	18,0	-18,0	1
3	0	18,9	0	0
4	1	19,7	19,7	1
5	2	19,7	39,4	4
	0	93,4	6,9	10

Из системы для нахождения неизвестных коэффициентов, которая в данном случае примет вид

,

находим .

Искомая зависимость производства мяса от времени имеет вид

.

Таблица 4

Приведенные данные валового сбора зерна

Год ( )	-2	-1	0	1	2
Валовой сбор ( )	191,7	210,1	211,4	195,0	209,0

Применим метод наименьших квадратов, считая, что в данном случае имеет место зависимость .

Таблица 5

Результаты промежуточных вычислений

1	-2	191,7	-383,4	4	-8	16	766,8
2	-1	210,1	-210,1	1	-1	1	210,1
3	0	211,4	0	0	0	0	0
4	1	195,0	195,0	1	1	1	195,0
5	2	209,0	418,0	4	8	16	836,0
	0	1017,2	19,5	10	0	34	2007,9

Из системы для нахождения неизвестных коэффициентов, которая в данном случае примет вид

,

находим .

Искомая зависимость производства мяса от времени имеет вид

.