Секвенциальное построение интеллектуальных систем с принципом комбинаторной полноты

Под секвенциальными системами с принципом комбинаторной полноты понимаются двухъярусные интеллектуальные системы, вводимые секвенциально по Генцену на основе бестиповой теории алгоритмов в форме неразрешимых исчислений Шейнфинкеля–Карри–Чёрча с принципом комбинаторной полноты (или -полноты), без известных ограничений теоремами Гёделя о неполноте: первый ярус двухъярусных интеллектуальных систем (далее ДИС), обеспечивающий принцип интеллектуальности всех ДИС, задаёт неограниченное свёртывание в  алгоритмической (вычислительной) форме, например, бестипового исчисления -конверсии Чёрча с -секвенциями (имеющими вид а→в); второй ярус ДИС задаёт классическую логику (предикатов 1-го порядка) в секвенциальной (без постулируемого правила сечения) форме Генцена с дедуктивными секвенциями вида ; связь между ярусами задают правила -сечения  и  (пишем: ), введенные автором и названные канторовскими, с целью синтаксического перенесения принципа интеллектуальности на 2-ой ярус ДИС. Причем все логические постулаты распространяются на объекты исчислений Шейнфинкеля–Карри–Чёрча. Такие двухъярусные (интеллектуальные) исчисления строятся, следуя идее ступенчатых конструкций А.Н. Колмогорова и А.А. Маркова, исследуются автором на механико-математическом факультете МГУ с 1968 г. и публикуются с 1970 года.

Работа развивает идеи и результаты, содержащиеся, в частности, в двух публикациях 1991 года [1, 9-12, 34] и 2005 года [2, 726-727].

Впервые формулируется программа Колмогорова по основаниям КМ (классической теоретико-множественной математики в её целостности). Обсуждаются историко-методологические вопросы её становления, связь с Центральной проблемой Гильберта (построения доказуемо полных и доказуемо непротиворечивых оснований КМ) и проблематикой искусственного интеллекта.

Одновременно решаются две хорошо известные проблемы оснований наук: проблема введения логических операторов в алгоритмические комбинаторно полные (-полные) неразрешимые исчисления Шейнфинкеля–Карри–Чёрча и Центральная проблема Гильберта построения доказуемо полных и доказуемо непротиворечивых оснований КМ.

В силу теорем Гёделя о неполноте некоторых аксиоматических теорий 1-го порядка и в силу парадоксов типа парадокса Рассела, доказуемо полные и доказуемо непротиворечивые интеллектуальные системы (такие, например, как интеллектуальные системы компьютерных логик), в частности, реализующие программу Колмогорова по КМ, естественно строить в их основной логико-предикатной части не как всем известные аксиоматические формульные теории 1-го порядка с собственными нелогическими аксиомами, а как вторые, логические, ярусы секвенциальных двухъярусных теорий, базирующихся на знаменитых результатах Кантора, Чёрча и Генцена в основаниях наук и введенных автором по публикациям с 1970 года. Основное внимание сосредоточим на КМ, естественно предполагая распространение результатов на любые интеллектуальные конструкции в их целостности.

Программа Колмогорова по основаниям КМ состоит в том, что при построении исчисления, решающего Центральную проблему Гильберта, надо учитывать две компоненты КМ (классической теоретико-множественной математики) – вычислительную (алгоритмическую) и дедуктивную (логическую) и одновременно отражать без ограничений два канторовских принципа теории множеств – неограниченное свертывание и неограниченную логику, применением которых строятся все выводы КМ.

В работе предлагается вариант реализации программы А.Н.Колмогорова по основаниям математики. Впервые показывается, что КМ (классическая теоретико-множественная математика) доказуемо полностью и доказуемо непротиворечиво (как абсолютно, так и относительно отрицания  ) представляется одним интеллектуальным исчислением (теорией).

Тем самым Центральная проблема Гильберта построения доказуемо полных и доказуемо непротиворечивых (как абсолютно, так и относительно отрицания  ) оснований классической теоретико-множественной математики КМ в виде одного (хотя и двухъярусного) интеллектуального исчисления решается автором по Колмогорову.

На основании сказанного интеллектуальные системы строятся как двухъярусное секвенциальное исчисление М (без постулируемого правила сечения) из [3, 740-742; 4, 303-306].

Результат получает завершение ниже формулируемой и доказанной Теоремой Cut (о допустимости в ДИС правила сечения), из которой в дополнение к абсолютной непротиворечивости [3, 740-742; 4, 303-306] вытекает непротиворечивость двухъярусной интеллектуальной системы относительно отрицания.

Формулировка Теоремы Cut (с использованием понятий и терминов, вводимых аналогично логико-предикатным генценовским).

Если в ДИС выводимы секвенции (  , А^r ) и (А^r, Г Θ), то в ДИС существует вывод секвенции (, Г, Θ), где А есть М-формула с индикатором r; , , ,  суть наборы оснащенных М-формул.

Доказательство Теоремы непосредственно следует из следующей леммы о смешении в ДИС, по формулировке и доказательству являющейся обобщением генценовской леммы о смешении в логике предикатов.

Лемма о смешении в ДИС

Если  и  – выводы секвенций  = (  ) и G = (  ) в ДИС, А^r – оснащенная М-формула, r – индикатор, то в ДИС можно построить вывод  секвенции  = (, _А  _А, ), где выражение вида _А обозначает результат вычеркивания из  набора  всех оснащенных М-формул  ^r таких, что  есть М-формула и  ( конвертируется в , то есть в исчислении -конверсии [2, IV, п. 6] выводимы -секвенции    и   ), здесь = выступает как символ равенства по определению, , ,  и  – наборы оснащенных М-формул.

Доказательство Леммы проводим индукцией по кортежу (r, , ), где  =  [] и  =  [] (выражение вида  [] (длина вывода ) означает число вхождений в вывод  дедуктивных секвенций). Разбор случаев (включая базис и шаг индукции) осуществляем обычным образом по Г. Генцену. Доказательство (с точностью до языка) отличается от  известного логико-предикатного генценовского тем, что из наборов вычеркиваются не только все вхождения оснащенной М-формулы А^r (как по Генцену в случае формул логики предикатов), но и все конвертирующиеся в А^r оснащенные М-формулы В ^r [В  А, в частности, А  А].

Кортеж, сопоставленный выводам ,  и индикатору r, будем иногда обозначать через  [ , , r ], где r = ind(A).

Кортежи (е, f, ), где e, f,  – индикаторы, считаем упорядоченными лексикографически, то есть (е₁, f₁,  ₁)  (е₂, f₂,  ₂) тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий: (1) е₁  е₂ ; (2) е₁ = е₂ и f₁  f₂ ; (3) е₁ = е₂, f₁ = f₂ и  ₁   ₂ .

Используя структурные правила *К*, *W*, *С*, **, вывод  можно построить: (1) как продолжение  при А   (выражение с  Ф означает, что в наборе Ф нет оба h такого, что с  h) или при А  Θ ; (2) как продолжение  при А   Г или при А   .

В дальнейшем предполагаем, что А   Θ ; А  ; А  Г . Пусть  = (r, , ).

Гипотеза индукции: допустим, что по любым выводам  и  и индикатору  при  [, , ]   можно указать вывод  секвенции H.

Рассмотрим выводы  и  и индикатор r  0 такие, что  [, , r] = . Здесь  []  1 и  []  1. Доказательство существования вывода  проведем путем разбора случаев построения заключительных секвенций Е и G выводов  и .

Если Е или G получена по одному из операциональных правил П, Р,  , то индикатор главного его члена Рfg,  g или Пf как слова (оба), независимо от выводов, убывает при переходе к указанным в посылках оснащенным М-формулам f и g, g или fc.

Заметим, что случаи  [] = 1 или  [] = 1 уже рассмотрены: вывод  получен как продолжение одного из данных выводов  или .

Разбор различных случаев далее в доказательстве леммы о смешении осуществляем точно так, как это делается в литературе, начиная с публикаций Г.Генцена (1934 год) для логики предикатов 1-го порядка и автора (с 1973 года) в классах выводов таких, как М или КЧГ, бестиповых двухъярусных секвенциальных исчислений.

Итак, два яруса построенной двухъярусной интеллектуальной системы (ДИС), как аналоги двух составляющих КМ, позволяют в ДИС применением двух принципов канторовской теории множеств, представленных в ДИС логическими и алгоритмическими постулатами, получить в соответствии с программой А.Н.Колмогорова доказуемо полным и  непротиворечивым образом все выводы КМ без ограничений естественно на основе колмогоровского пакета законов рассуждений, заданного указываемыми по постулатам ДИС всеми свойствами выводимости при замене символа дедуктивной секвенции  на знак выводимости ├ , или секвенциально в ДИС.

Первый, алгоритмический ярус ДИС с его неразрешимостью используется не только при построении 2-го, логического яруса ДИС, но и в других случаях, например, при задании исходных элементов (М-термов и  М-формул) исчисления ДИС.

Негёделевость ДИС, как и невозможность формализации ДИС в теориях первого порядка, построенных на пути Фреге, обеспечивается неразрешимостью исчислений Шейнфинкеля–Карри–Чёрча, используемых как в теории ДИС, так и в её метатеории (см. также [5-8]).