§35. Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Якщо матеріальна точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливальних рухах однакової частоти

, , (35.1)

То рух цієї nочки є наслідком накладання двох взаємно перпендикулярних коливальних рухів і рівняння траєкторії її руху можна записати у вигляді:

= . (35.2)

Орієнтація еліпса відносно системи координат і його форма визначається величиною амплітуд А₁ та А₂ і залежить від різниці фаз .

1. Якщо , то траєкторією руху є пряма лінія

, (35.3)

яка проходить через початок координат і нахилена до осі ОХ під кутом (рис.35.1а). Зміщення точки у будь-який момент часу від положення рівноваги визначається співвідношенням:

. (35.4)

2. Якщо різниця фаз , то траєкторія руху матеріальної точки також буде прямою лінією, яка визначається рівнянням:

. (35.5)

Пряма (35.5) проходить через початок координат і лежить в ІІ і IV чвертях (рис..35.1,б).

Підставивши у (71.11) замість х і y їх значення (71.9) і врахувавши, що , одержимо:

. (35.6)

Із (35.6) видно, що сумарний рух точки – це гармонічне коливання з частотою , що здійснюється вздовж прямої (35.5).

3. Якщо різниця фаз , то рівняння сумарного руху набуває вигляду:

.

Точка рухається по еліпсу, півосі якого дорівнюють і і орієнтовані вздовж осей ОХ і ОУ (рис.35.1 в). Якщо то точка рухається по колу

Рис. 35.1

Якщо , то точка рухається вздовж еліптичної траєкторії (колової траєкторії, якщо А₁ = А₂) у напрямі руху стрілки годинника, а коли , то рух матеріальної точки здійснюється вздовж колової траєкторії у напрямі протилежному напряму руху стрілки годинника.

Внаслідок додавання двох взаємо перпендикулярних коливань, частоти яких різні, сумарний рух відбуватимуться вздовж траєкторій складних форм, які називають фігурами Лісажу. На рис. 35.2 зображено фігури Лісажу для випадку, коли частоти складових коливань відносяться як 1:2, 1:3, 2:3 і різниць фаз коливань відповідно.

Рис. 5.2

Фігури Лісажу – це криві лінії, вписані у прямокутник із сторонами, що дорівнюють подвійним значенням амплітуд складових коливань.

34. Хвилі. Фронт хвилі. Рівняння хвилі

1. Коливання, що виникли в певній точці пружного середовища передаються сусіднім частинкам цього середовища внаслідок взаємодії між частинками і поширюються з деякою швидкістю . Процес поширення коливань в середовищі називають хвильовим процесом, або хвилею.

Хвилі називаються поперечними, якщо коливання частинок середовища відбуваються в напрямі, перпендикулярному до напряму поширення хвилі. Якщо коливання частинок середовища відбуваються в напрямі, паралельному до напряму поширення хвилі, то хвиля називається поздовжньою. Лінія, яка вказує напрям поширення хвилі, називається променем. У пружному середовищі під час поширення повздовжніх хвиль виникають і поширюються деформації стиску і розтягу, а під час поширення поперечних хвиль виникають і поширюються деформації зсуву. На рис. 36.1 показано миттєве розташування точок середовища в поперечній (а) і поздовжній хвилях (б).

Рис.36.1 Рис.36.2

Хвильові збурення, поширюючись, охоплюють все нові і нові області середовища. Геометричне місце точок простору, до яких дійшов хвильовий процес в даний момент часу, називається фронтом хвилі. Геометричне місце точок, в яких коливання відбувається в однаковій фазі, називають хвильовою поверхнею.

Хвильових поверхонь у даній хвилі можна провести безліч, а фронт хвилі один. Фронт хвилі – це найвіддаленіша від джерела хвильова поверхня у даний момент часу. Хвильові поверхні, як і фронт хвилі, переміщаються з швидкістю поширення хвилі. Якщо хвильова поверхня має форму сфери, то хвилю називають сферичною. Якщо хвильові поверхні є площини, то хвилю називають плоскою. На рисунку 36.2 зображено хвильові поверхні сферичної (а) і плоскої (б) хвилі. Джерелом сферичних хвиль є точкові джерела коливань. На великих відстанях від точкового джерела невеликі ділянки хвильової поверхні можна вважати плоскими. Довжиною хвилі називається віддаль між двома хвильовими поверхнями, коливання в яких відбувається з різницею фаз 2 . За час, що дорівнює періоду коливань, фронт хвилі переміщається в однорідному середовищі на віддаль, що дорівнює довжині хвилі :

, або .

де T- період коливань, – частота коливань.

Якщо відоме положення фронту хвилі в деякий момент часу і швидкість поширення хвилі V, то положення фронту в наступний момент часу можна визначити, застосувавши принцип Гюйгенса. Згідно з цим принципом, всі точки хвильової поверхні , через які проходить фронт хвилі в момент часу , є джерелами вторинних хвиль, а положення фронту хвилі в момент часу співпадає з поверхнею, що огинає всі вторинні хвилі. Тут вважають, що всі вторинні хвилі випромінюються тільки вперед (в напрямках, які утворюють гострі кути із зовнішньою нормаллю до фронту хвилі вторинні хвилі не випромінюються (рис.36.3). В о днорідному ізотропному середовищі вторинні хвилі є сферичними.

Користуючись принципом Гюйгенса, можна отримати закони відбивання та заломлення хвиль на межі поділу двох середовищ. Рекомендуємо читачеві зробити це самостійно. В даному параграфі подано лише отримані результати.

Закони відбивання і заломлення хвиль на межі

рис. 36.3 поділу двох середовищ:

1. промінь, що падає на межу поділу двох середовищ, промінь відбитий від цієї межі, і перпендикуляр, поставлений в точку падіння до межі поділу двох середовищ, лежать в одній площині (рис.62.4);

2. кут падіння дорівнює куту відбивання ( );

3. відношення синуса кута падіння до синуса кута заломлення є величина стала для даних двох середовищ і називається відносним показником заломлення.

(36.1)

Кутом падіння (відбивання, заломлення) називають кут між перпендикуляром, поставленим в точку падіння, і променем, що падає на поверхню поділу двох середовищ (променем відбитим, заломленим променем).

Відносний показник заломлення показує, у скільки разів швидкість поширення хвиль у першому середовищі більша, ніж швидкість поширення хвиль у другому середовищі. Тому формулу (36.1) можна записати у вигляді:

=

де – швидкість поширення хвиль в першому Рис. 36.4

середовищі, – швидкість поширення хвиль у другому середовищі.

.

2. Нехай джерело хвиль, що знаходиться в точці О, є гармонічним:

(36.2)

Поширюючись в пружному середовищі, до будь-якої точки М з координатою r коливання від джерела дійдуть з запізненням на деякий проміжок часу , тому коливання в даній точці відставатимуть за фазою від коливань джерела:

, ( 36.3)

де - узагальнена координата, t- час, V- швидкість поширення фази коливань ( фазова швидкість).

Рівняння (36.3) є рівнянням плоскої хвилі, воно описує коливання будь-якої точки в будь-який момент часу. Якщо згасання немає, то амплітуда вздовж променя Оr однакова в усіх точках. Амплітуда коливань сферичної хвилі зменшується із збільшенням віддалі r від джерела.

Враховуючи те, що

= = ,

рівняння (36.3) можна записати у вигляді:

) ,

або

) . (36.4)

Під час поширення хвилі частинки речовини не переміщаються вздовж напрямку поширення хвилі, вони лише коливаються відносно положення рівноваги. Коливальний рух від частинки до частинки даного середовища передається з певною швидкістю, яка називається фазовою швидкістю. Наприклад, в поперечній хвилі синусоїда, що показує положення частинок середовища в момент часу (рис.36.5), через малий проміжок часу зміститься на віддаль (стрілками показано напрям швидкостей частинок). Отже, швидкість поширення фази коливань (наприклад, гребеня В) можна визначити, поділивши переміщення на час , за який було здійснено це переміщення:

. V = .

Рис. 36.5

Швидкість поширення хвилі залежить від пружних властивостей середовища і його густини. Швидкість поширення поперечних хвиль визначається формулою:

V = ,

де Е – модуль Юнга, – густина середовища, у якому поширюється хвиля.

Синусоїдальна хвиля, яка характеризується однією частотою, називається монохроматичною. Реальна хвиля, обмежена в часі і просторі (наприклад, хвильовий імпульс зображений на рис.36.6), не є синусоїдальною хвилею і характеризується певним набором частот. Оскільки всі хвильові процеси обмежені в просторі і часі, то строго монохроматичних хвиль в природі не існує.

Рис. 36.6

Хвиля називається плоскополяризованою, якщо коливання частинок середовища відбуваються в одній площині. Поляризованими можуть бути лише поперечні хвилі.