§31. Енергія гармонічних коливань

Під час гармонічних коливань матеріальної точки відбуваються періодичні взаємні перетворення кінетичної w_k і потенціальної w_p енергії. Потенціальна енергія осцилятора виражається формулою:

,

а потенціальна крива має вигляд параболи (рис.31.1). Це потенціальна яма, дно якої відповідає положенню рівноваги осцилятора (точка О). Із зростанням координати Х зменшується кінетична енергія w_k і збільшується потенціальна енергія w_p. Потенціальна енергія досягає максимального значення w_p в точках х= А.

Рис.31.1

Повна механічна енергія гармонічного осцилятора масою m в будь-який момент часу дорівнює сумі його кінетичної та потенціальної енергій:

W = + ,

або

W = . (31.1)

Врахувавши, що k =m , і підставивши у (31.1) значення координати x і швидкості V із (29.3) і (29.4), одержимо:

.W =

Отже, повна механічна енергія гармонічного осцилятора пропорційна його масі m, квадрату амплітуди і квадрату циклічної частоти .

§32. Коливання, що згасають

Коливання залишаються гармонічними, якщо не відбувається розсіювання енергії. В реальних системах завжди діють дисипативні сили, які призводять до розсіювання енергії і згасання коливань (рис.32.1). Амплітуда коливань, що згасають, зменшується з часом і виражається формулою:

A = ,

де – коефіцієнт згасання. A – амплітуда в момент часу t, - амплітуда в початковий момент часу.

Рівняння коливань, що згасають, записують у вигляді:

,

де – циклічна частота коливань, що згасають. Період коливань, що згасають, завжди більший ніж період власних коливань. Період коливань, що згасають залежить від частоти власних коливань та коефіцієнта згасання:

T = (32.1)

Рис.32.1

Логарифм відношення двох послідовних значень амплітуд, віддалених одна від одної на час, що дорівнює одному періоду, називається логарифмічним декрементом згасання:

(32.2)

або

.

Логарифмічний декремент згасання визначають експериментально:

.

Знаючи , можна визначити коефіцієнт згасання .

Важливою характеристикою реальних коливань є добротність коливальної системи. Добротністю Q коливальної системи називається відношення енергії коливань системи в даний момент часу до втрат енергії за один період, помножене на 2 :

Q =2 (32.3)

, )

якщо , то формула (69.19) може бути записана у вигляді:

Q = .

Великим значенням добротності Q відповідає слабке згасання.

Коливання, що згасають, характеризуються часом релаксації . Часом релаксації називають проміжок часу, протягом якого амплітуда коливань зменшується в е разів:

(32.4)

Із рівняння (32.4) знаходимо :

або

(32.5)

Як видно із формули (32.5), час релаксації прямо пропорційний періоду і обернено пропорційний логарифмічному декременту згасання.

§33. Вимушені коливання. Резонанс

Будь яка коливальна система виведена з положення рівноваги і залишена сама на себе здійснюватиме вільні коливання, що поступово згасають. Швидкість згасання вільних коливань реальних систем залежить від параметрів цих систем та від величини сил опору. Для того, щоб коливання реальних систем не згасали необхідно періодично поповнювати втрати системою механічної енергії. Ці втрати пов’язані з виконанням системою роботи сил опору.

Якщо на коливальну систему діє періодична сила F = ( - амплітуда прикладеної сили), то в системі встановляться вимушені коливання з частотою, яка дорівнює частоті цієї сили. В цьому випадку другий закон Ньютона записуємо у вигляді:

ma = - kx + .

Врахувавши те, що і , одержимо:

- m . (33.1).

Із (33.1) визначимо х:

x = . (33.2)

Із (33.2) видно, що вимушені коливання є гармонічними. Їх амплітуда

A = (33.3)

залежить від того, наскільки власна частота системи відрізняється від частоти коливань зовнішньої сили. З наближенням частоти цієї сили до частоти власних коливань системи, амплітуда А вимушених коливань різко зростає. Таке явище називається явищем резонансу. Явище різкого зростання амплітуди змушених коливань якщо частота зовнішньої сили наближається до частоти власних коливань називається резонансом. У разі відсутності сил опору (коефіцієнт згасання ) і коли , амплітуда вимушених коливань необмежено зростає. В реальних умовах, коли амплітуда вимушених коливань залежить не тільки від різниці частот, але і від коефіцієнта згасання і визначається за формулою:

A = , (33.4)

де , тут r – коефіцієнт опору.

За наявності сил опору амплітуда досягає максимального значення (спостерігається явище резонансу), коли частота зовнішньої сили дорівнює резонансній частот :

, (33.4)

а максимальне значення амплітуди визначається формулою:

A_рез= . (33.5)

Як видно із (33.4) і (33.5), за наявності сил опору резонанс в коливальних системах наступає, коли частота _рез трохи менша, ніж частота власних коливань ₀ (тертя сповільнює коливальний рух); амплітуда не може зростати до безмежності, а набуває певних значень. На рис.33.1 зображено графік залежності амплітуди вимушених коливань від частоти для трьох випадків:

1. у коливальній системі відсутні сили тертя (коефіцієнт згасання дорівнює нулю; (крива1)

2. у коливальній системі коефіцієнт згасання малий (крива 2)

3. у коливальній системі, діють значні сили опору і коефіцієнт згасання значний (крива 3).

Криві залежності A=f( ), зображені на рис.33.1, називаються резонансними кривими. Із збільшенням коефіцієнта згасання величина максимальної амплітуди зменшується, а положення максимуму резонансних кривих зміщується у бік менших частот. Коли , явище резонансу зникає ( _рез=0) і система отримує статичне зміщення від положення рівноваги. За малих значень коефіцієнта згасання ( ) амплітуда резонансних коливань визначається формулою: ,

а добротність системи – формулою:

Рис.33,1

.Q =

Чим більша добротність системи, тим вищий та гостріший максимум амплітудної резонансної кривої і тим повільніше згасають її вільні коливання.

Явище резонансу може бути як корисним, так і шкідливим. Шкідливої дії резонансу намагаються уникати. Сильні вібрації низької частоти шкідливі для людського організму: вони можуть викликати небезпечні резонансні явища у внутрішніх органах.

Явище резонансу широко застосовується в електротехніці, технічній акустиці, оптичних пристроях та ін.

У техніці і природі поширені автоколивальні системи, в яких підтримуються стаціонарні коливання. В автоколивальних системах втрата енергії весь час поповнюється. Її надходження від стороннього джерела регулюється самою коливальною системою. Прикладом роботи автоколивальної системи є робота годинникового механізму, електричного дзвінка, голосових зв’язок і т.д.).