Цель срс №2.

• Написать программу для расчета температуры вдоль трубопровода , используя трехточечную разностную схему (приближенное решение);

• Изучить влияние длины трубы L, θ₁ и θ_{2 ,} α и θ₀ на распределение температуры;

• Следует найти точное решение задачи (4.1)-(4.2). Для этого надо решить дифференциальное решение 2-порядка, считая λ=const. Точное решение надо сравнить с приближенным решением в узлах сетки и найти погрешность метода;

• Результаты представить на одном графике для сравнительного анализа.

Методические указания Решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка изучалось ранее. Необходимо вспомнить или восстановить ранее пройденный материал. Лабораторная работа №4

Численное решение прямой задачи для уравнения акустики.

Уравнение акустики

Здесь - скорость распространения волн, - плотность среды, - акустическое давление, т.е. отклонение давления от нормального при распространении акустических колебаний.

Предположим, что плотность среды и скорость распространения волн известны. Пусть до момента времени t=0 среда находилась в покое, т.е.

u (x,t)=0 при t<0

Предположим, что, начиная с момента времени t=0 на границе z=0 начинает действовать источник акустических колебаний.

В прямой задаче требуется определить функцию u(z,t) , т.е. смоделировать процесс распространения акустических волн.

Прямую задачу после преобразовании решаем конечно-разностным методом.

Заменяем производные конечно-разностными аналогами:

С хему (1) упростим, сокращая и группируя подобные слагаемые:

.

Из (3) находим

.

Алгоритм решения прямой задачи:

1. Находим , при ;

2. По формуле (15) определяем ;

3. Из схемы (14) находим ;

4. Из (15) находим ;

5. По формуле (14) определяем ;

6. По формуле (14) определяем ;

7. Из (15) находим ;

и т.д.

Б

u1[0]:=2u0[1]-u0[0]

u1[i]:=2(S((i-1)h)*u0[i+1]+S((i+1)h)*u1[i-1])/

(S((i+1)h)+S((i-1)h))-u0[i]

лок-схема лабораторной работы №4

u0[j]:=u1[j];

вывод (k,u0[j])

В лабораторной работе №4 надо написать программу численного решения прямой задачи акустики. Результаты представить в виде графиков.

Самостоятельная работа №3

Численное решение обратной задачи для уравнения акустики.

Обратная задача: определить коэффициент по известным данным о решении прямой задачи из (1), (2).

Условие означает, что до момента времени среда находилась в покое.

Метод обращения разностной схемы

Основная идея метода обращения разностной схемы – замена обратной задачи конечно-разностным аналогом и дальнейшее решение полученной системы нелинейных алгебраических уравнений достаточно простым способом.

Для численного решения записываем

конечно-разностную апроксимацию обратной задачи :

и упрощаем (8)

.

Для нахождения неизвестного коэффициента на слое полагаем в (20) и получаем уравнение для . Откуда находим из соотношения

.