1. Экспоненциальное распределение

Следующий существенный шаг в развитии Пуассоновского распре­деления — получение вероятности р (0, t), которая является вероятностью непоступления заявки в пределах временного интервала длины t, то есть вероятности, что первое поступление заявки произойдет позже, чем t. Мы покажем, что {1 - р(0, t} ^— экспоненциальное распределение (сравните с результатом секции 4.1).

Из (6.2) мы имеем:

Inр (0, t₁) + Inр (0, t₂) = Inр (0, t₁ + t₂) . (6.6)

Обозначая lnp(0, t) =f (t), (6.6) может быть записано как:

f (t₁) +f (t₂) = f (t₁ + t₂) • (6.7)

Дифференцируя, например, no t₂, мы имеем f’(t₂) = f'_t2 (t₁+t₂) ■

Заметим, что f₀(t) должна быть константой, и поэтому f(t)=a+bt. (6.8)

Подставляя (6.8) в (6.7), мы получаем а = 0. Тогда р(0, t) имеет форму

P(0,t)= е^ы.

Из (6.3) мы получаем b:

или

b =-λ

Таким образом, на основе пункта (1) и (2) выше мы показали, что:

p(0,t) = е^-λt (6.9)

Если мы рассматриваем р(0, t) как вероятность того, что следующее событие наступает позже, чем за время t, тогда время до следующего при­бытия является экспоненциально распределенным (секция 4.1):

(6.10)

(6.11)

Мы имеем следующую среднюю величину и дисперсию (4.4):

m₁=1/λ ,

σ²=1/λ²

(6.12)

Вероятность, что следующее появление заявки в пределах интервала (t, t + dt) может быть записана, как:

(6.13)

f(t)dt = λe^-λrdt

= p(0,t)λdt,

то есть вероятность, что заявка поступит в пределах интервала (t, t + dt), равна λdt, независимо от t и пропорционально dt (3.17).

Поскольку X независима от величины (возраста) t, экспоненциаль­ное распределение не имеет памяти (сравните секции 4.1 и 3.1.2). Процесс не имеет возраста.

Число наблюдений

Г0!

5916 наблюдений

© Теоретически

■

•

©,

©

-»

г*г

©

Время между двумя поступлениями [ сканирование = 0.2с ]

~г —nr —

0 4 8 12 16 20

Параметр λ называется интенсивностью или скоростью экспоненци­ального распределения и соответствующего Пуассоновского процесса, и это соответствует интенсивности в (5.6). Экспоненциальное распределе­ние — вообще очень хорошая модель для интервалов поступления вызо­вов, когда нагрузка генерируется автоматически, а не вручную (рис. 6.2).

2000 1000 500

200 100 50

20 10 5