Пример 5.2.2: Множественные события

Моменты времени дорожных происшествий представляют простой процесс. Число поврежденных автомобилей или погибших людей — непростой точечный процесс с множественными событиями, когда заяв­ки от многих объектов поступают одновременно.

1. Формула Литла

Это единственный общий результат, который справедлив для всех систем организации очереди. Он был сначала издан Литлом (1961 [75]). Ниже мы приводим доказательство, применяя теорию стохастического процесса в (Eilon, 1969 [24]).

Мы рассматриваем систему организации очереди, куда поступление заявок от клиентов соответствует стохастическому процессу. Клиенты вхо­дят в систему в случайный момент времени и ждут обслуживания. Когда они будут обслужены, они покинут систему. На рис. 5.2 процессы и посту­пления и выхода из системы рассматриваются как стохастические процес­сы с накопленным числом клиентов (показанным на оси ординат).

Рассмотрим пространство времени Т и предположим, что систе­ма в начальное время t-О находится в статистическом равновесии. Мы используем следующую систему обозначений (рис. 5.2):

N( Т) — число поступления заявок в период Т;

А( Т) — полные времена обслуживания всех клиентов в период Т=

= затененная область между кривыми =

= величина обслуженной нагрузки;

λ(T)=(N(T))/T - средняя интенсивность вызовов в период T;

W(T)=(A(T))/(N(T)) -среднее время обслуживания одного вызова в период T;

L(T)=(A(T))/T - среднее число вызовов в системе за период Т.

Выпишем важное соотношение между этими переменными:

(5.19)

Если существуют пределы , то также существует конечное значение L( Т), равное:

(5.20)

(формула Литтла).

Эта простая формула справедлива для любых систем организации очереди. Доказательство было получено и улучшалось в течение несколь­ких лет. Мы будем использовать эту формулу в лекциях 12-14.

Число событий

Рисунок 5.2. Система организации очереди с поступлением в систему и выходом из системы клиентов. Вертикальное расстояние между двумя кривыми равно фактическому числу обслуживаемых клиентов. Строго говоря, клиенты не выходят из системы в том же порядке, как поступают в нее, так что горизонтальное расстояние между кривыми не описывает фактическое время пребывания клиента в системе

Пример 5.3.1: Формулы Литла

Если мы рассматриваем только места ожидания, то формула показы­вает, что средняя длина очереди равна интенсивности вызовов, умноженной на среднее время ожидания.

Если мы рассматриваем только обслуживающие приборы, формула показывает, что обслуженная нагрузка равна интенсивности поступления заявок, умноженной на среднее время обслуживания (А = у • S = λ/μ)- Это соответствует определению предложенной нагрузки в секции 2.1.

Краткие итоги

Процессы поступления заявок, таких, как телефонные вызовы, при­бывающие на станцию, отображаются математически как стохасти­ческие точечные процессы.

В лекции рассматриваются только простые точечные процессы, то есть мы исключаем множественное прибытие, например, одновре­менное поступления двух вызовов.

При анализе точечного процесса можно использовать два представ­ления. Представление с помощью интервалов времени соответствует обычному анализу последовательности отсчетов времени; числовое представление не анализирует времени.

При числовом представлении временной интервал t сохраняется постоянным, и мы наблюдаем случайную переменную N_t для числа вызовов длительностью /.

При представлении с помощью интервалов времени число поступле­ний вызова сохраняется постоянным, а мы наблюдаем случайную переменную Т. для временного интервала до тех пор, пока не посту­пят п заявок.

У числового представления есть два свойства, которые представляют теоретический интерес.

1. Общее количество поступления заявок в интервале [t₁, t₂] равно (N_t2-N_ti).

2. Плотность поступлений вызова за время t (математическое ожи­дание времени):

λ = N'_t

Чтобы описывать свойства второго порядка для числового представ­ления, мы используем индекс рассеяния для подсчетов — IDC

и индекс рассеяния для временных интервалов — IDI

Стационарность характеризуется следующим свойством: для произ­вольного t₂ > 0 и каждого к ≥ 0 вероятность поступления к заявок на отрезке [t₁; t₁+t₂ ]не зависит от t, то есть для всего t и к мы имеем:

• Независимость может быть выражена как требование, что будущая эволюция процесса зависит только от существующего состояния.

• Точечный процесс называется простым, если вероятность, что в дан­ной точке существует больше чем одно событие, является нулевым.

• Для любых систем организации очереди среднее число вызовов в системе за период Т равно

L = λ • W (формула Литтла).