Раздел 12. Доверительный интервал

1. Сделано 4 измерения расстояния от орудия до цели дальномером с точностью σ = 40м. Среднее выборочное этих 4 измерений равно 2000 м. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния до цели при доверительной вероятности 0,95. Установить, сколько надо измерений, чтобы с той же вероятностью 0,95 точность оценки расстояния до цели составила 10м.

2. При исследовании содержания чистого серебра в 10 монетах «рубль», чеканившихся в Росcии с 1730 г по 1761 г, получена средняя величина 20,75г. Оценить истинное значение содержания серебра в монете «рубль» этого периода при уровне значимости 0,1, если среднеквадратичная погрешность применённого для анализа метода составляла 0,1г.

3. Для данных из условия задачи №4 из раздела 11 найти доверительный интервал для выборочного среднего при уровне значимости 0,2. Среднеквадратичное отклонение в генеральной совокупности считать равным 13с.

4. При тестировании общего интеллекта у 25 человек получен средний балл 45. Считая, что общий интеллект имеет нормальное распределение со среднеквадратичным отклонением 16 баллов, найти доверительную вероятность, при которой этот средний балл получен с точностью до 3 баллов, 5 баллов, 8 баллов.

5. Игровой автомат должен обеспечивать в среднем один выигрыш в ста играх. При его проверке в 400 играх было 5 выигрышей. Найти доверительный интервал для неизвестной вероятности выигрыша при доверительной вероятности 0,95.

Указание. При большом объёме выборки n границы доверительного интервала находятся по приближённым формулам

, где ν – точечная оценка параметра p по выборке, - квантиль нормального распределения N(0, 1).

Раздел 13. Проверка статистических гипотез

1. Для исследования возможности телепатии в НИИ психологии проведён опыт. В одной комнате сидел экспериментатор, который по сигналу брал один из лежавших перед ним картонных прямоугольников: чёрный, белый и полосатый. Сидящий во второй комнате второй экспериментатор по тому же сигналу выбирал один из таких же прямоугольников. Очевидно, что вероятность случайного совпадения выбранных прямоугольников равна . Произведя 100 наблюдений, экспериментаторы получили 39 совпадений выбранных прямоугольников. Проверить по правостороннему биномиальному критерию гипотезу о том, что в данном опыте телепатия не проявилась, при значениях уровня значимости α = 0,05 и α = 0,15.

2. Проведено 600 случайных бросаний игральной кости, при которых «6» выпало 75 раз.

а) По двухстороннему биномиальному критерию при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о симметричности и однородности этой кости.

б) По левостороннему биномиальному критерию при уровне значимости α = 0,01 проверить гипотезу о том, что вероятность выпадения «6» у данной кости равна 1/6.

3. При 4040 бросаниях монеты Бюффон получил 2048 выпадений «герба». По правостороннему биномиальному критерию при уровне значимости α = 0,1 проверить гипотезу о том, что монета была правильной, то есть, что вероятность выпадения «герба» для неё равна ½.

3. На факультете проведено выборочное тестирование 60 студентов. Результаты тестирования: оценку 4 получили 23 студента, 3 - 22 студента. Проверить по хи-квадрат критерию гипотезу о том, что уровень подготовки студентов распределён равномерно по этим градациям. Взять уровень значимости α = 0,1.

3. Метод генерирования случайных чисел был применён 250 раз и дал следующий результат

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Частота появления	27	18	23	31	21	23	28	25	22	32

Проверить для уровня значимости 0,1, что метод даёт случайные числа, то есть распределение цифр равномерное.

3. Датчик микрометеоритов, установленный на борту космической станции, за 12 часов наблюдения дал следующие данные о количестве микрометеоритов, попавших в станцию

№.ч.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
К.м.	39	41	47	34	41	54	37	39	33	49	41	45

Можно ли считать поток микрометеоритов равномерным за время наблюдения? Уровень значимости взять равным 0,05.

3. Проверить при уровне значимости 0,1, что данная выборка получена из нормально распределённой генеральной совокупности

Гр. интерв.	3 - 4	4 - 5	5 - 6	6 - 7	7 - 8
Частота	5	15	23	9	6

.

3. По выборке, представленной статистическим рядом, проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности для значений уровня значимости 0,05 и 0,01.

Гр.инт.	3,0 - 3,6	3,6 – 4,2	4,2 – 4,8	4,8 – 5,4	5,4 – 6,0	6,0 – 6,6	6,6 – 7,2
Частота	2	8	35	43	22	15	5

Указание. В расчёте объединить интервалы 1 и 2, 6 и 7.

3. По выборке из задачи 4 раздела 11 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости 0,05.

3. Проверить, одинаковый ли уровень подготовки показали на экзамене две группы студентов. Взять уровень значимости 0,1.

а)

Оценка	5	4	3	2
Частота в гр.1	9	6	9	4
Частота в гр.2	8	5	11	3

б)

Оценка	5	4	3	2
Частота в гр. 1	9	4	9	3
Частота в гр. 2	2	3	12	6

3. В таблицу сопряжённости сведены оценки по математике, полученные студентами на экзамене, и средние оценки этих же студентов за текущую работу в семестре. Зависимы ли эти оценки?

Оценки на экзамене

Оценки за семестр

Взять уровень значимости 0,01.

3. Зависит ли результат опыта (0 или 1) от использованного катализатора? Проверить для уровня значимости 0,1.

	1	2	3
0	11	17	16
1	22	23	19

3. При тестировании двух групп получены следующие оценки:

Группа 1 33, 19, 34, 25, 24;

Группа 2 32, 24, 28, 16.

Считая, что оценки по данному тесту имеют нормальное распределение, проверить гипотезу о равенстве средних оценок в этих группах. Взять уровень значимости 0,1.

3. Приведены оценки студентов данной группы по двум контрольным работам (КР).

КР1: 4 2 2 2 2 5 4 2 2 2 2 2 5 4 2 2

КР2: 5 4 4 2 2 5 4 2 2 3 4 2 5 4 3 4

Проверить при уровне значимости 0,01, улучшилась ли подготовка студентов ко второй контрольной работе.

Ответы

Раздел 1

1. а) {ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РРГ, РГР, ГРР, РРР},

б) A = {ГРР, РГР, РРГ}, B={ГГР, ГРГ, РГГ}, C={ГГР, ГРГ, РГГ, ГГГ},

в) 3/8, 3/8, 1/2

2.

3. а) нет, б) ,

в)

Раздел 2

1. 3/10, 7/10

2. а) 1/3 , б) 1\2 , в) 0

3. а) 1/6 , б) 1/3 , в) 1/ 2, г) 1/3

4. а) 1/36, б) 1/18, в) 5/18, г) 11/36

5.

6. 

7. 

8. 

9. 

10. (m – 1) / (n – 1)

11. (m – 1) / (n – 1)

12. 

13. 

14. 

15. 

16. ¼

Раздел 3

1. 2/3

2. 2/9 , 1/3

3. Зависимы:

4. Зависимы:

5. 2/3

6. Нет: , так что

7. 

= поэтому события A, B, C попарно независимы. Но , так что события

A, B, C зависимы в совокупности.

8. 

Раздел 4

1. а) 0,98 , б) 0,26 , в) 0,02

2. 1/126

3. 1/216 , 1/36 ,

1. 5/8

5. 7/9

6. 1/2

7. 28/29 . Замечание: задачу проще решить переходом к противоположному событию.

8. 65/81

9. 0,1. Найти аналогию с «хорошим» билетом на экзамене. 0,5

10. 

11. ,

12. 

13. 

7. В системе 1 : - вероятность работы верхней цепи (из элементов 1, 2) и - вероятность работы нижней цепи (из элементов 3, 4). Поэтому вероятность работы системы 1 равна

В системе 2: - вероятность работы левого звена (из элементов 1, 3) и - вероятность работы правого звена (из элементов 2, 4). Поэтому вероятность работы системы 2 равна

Следовательно, вторая система надёжнее.

16. Событие А – жюри примет правильное решение – является суммой следующих несовместных событий: (1-ый судья – правильное решение, и 2-ой судья - правильное решение, и 3-ий судья – правильное решение) + (1-ый судья – правильное решение, и 2-ой судья - правильное решение, и 3-ий судья – неправильное решение) + (1-ый судья – неправильное решение, и 2-ой судья - правильное решение, и 3-ий судья – правильное решение) + (1-ый судья – правильное решение, и 2-ой судья - неправильное решение, и 3-ий судья – правильное решение) . Каждое слагаемое в сумме – произведение независимых в совокупности событий. Поэтому:

17. Вероятность принятия жюри правильного решения равна

Неравенство выполнено при

18. Вероятность принятия жюри правильного решения равна

19. 609/625