42

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПО ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВУ

КАФЕДРА ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВА

ЭКОНОМИКО-МЕТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Задания для выполнения лабораторных работ

Для студентов высших учебных заведений по специальностям:

120301 – Землеустройство

120302 – Земельный кадастр

и направлению:

120300 – Землеустройство и кадастры

Москва - 2003

ЗАДАНИЕ I

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Демонстрационная задача №1

При составлении задания на проектирование необходимо установить планируемую урожайность гречихи на расчетный 2020 год. По данным годовых отчетов имеется следующая фактическая урожайность гречихи (ц/га), представленная в таблице 1:

Таблица 1

Исходные данные к задаче 1

Годы	Порядковый номер года, (хj)	Фактическая урожайность, ц/га, (уj)
2001	1	8,8
2002	2	9,0
2003	3	10,4
2004	4	11,5
2005	5	11,0
2006	6	11,8
2007	7	12,0
2008	8	12,5
2009	9	13,0
2010	10	13,3
2011	11	13,5
2012	12	14,2

Необходимо установить имеется ли зависимость между значением урожайности гречихи и годами.

Решение задачи.

Для того чтобы понять имеется ли зависимость между значением урожайности и годами, построим график в двухмерной системе координат (x,y), где у – урожайность гречихи, х – годы (рис.1).

Графический способ представления исходной информации используется, когда важно не только значение производственного результата, но и направление и характер его изменения.

По графическому представлению (рис. 1), построенному по данным таблицы 1, можно предположить, что зависимость урожайности гречихи от времени носит линейный характер, тогда реальную зависимость можно заменить функциональной линейной связью: y=a₀+a₁x .

Для определения параметров a₀ и a₁ используем принцип наименьших квадратов.

y

14,0

12,0

10,0

8,0

x

0 2 4 6 8 10

Рис. 1. Графическое представление зависимости урожайности от времени. Точками показаны результаты наблюдений.

Для получения системы нормальных уравнений приравняем нулю первые производные суммы квадратов отклонений случайных величин (у^j) от соответствующих значений уравнения регрессий по параметрам а₀ и а₁:

;

Получаем следующую систему нормальных уравнений:

;

;

.

В данных уравнениях величины и - статистические данные, представленные в табл.1, а параметры a₀ и a₁ неизвестные величины, которые определим из решения двух уравнений с двумя неизвестными.

Для расчета коэффициентов системы нормальных уравнений а₀, а₁ составим таблицу 2.

Таблица 2

Расчёт коэффициентов системы нормальных уравнений

для расчета параметров «a₀» и «а₁» (случай линейного представления зависимости)

Годы (j)	хj	уj	(хj)2	хj уj	Ўj силаж Ўj=f(x)	(уj)2для расчёта rуx
2001	1	8,8	1	8,8	9,22	77,44
2002	2	9,0	4	18,0	9,68	81
2003	3	10,4	9	31,2	10,14	108,16
2004	4	11,5	16	46	10,60	132,25
2005	5	11,0	25	55	11,06	121
2006	6	11,8	36	70,8	11,52	139,24
2007	7	12,0	49	84,0	11,98	144
2008	8	12,6	64	100,0	12,44	156,25
2009	9	13,0	81	117	12,9	169
2010	10	13,3	100	133	13,36	176,89
2011	11	13,5	121	148,5	13,82	182,25
2012	12	14,2	144	170,4	14,28	201,64
∑	78	141	650	982,7	141	1689,12
( )2	6084	19881
∑/п		11,75

Таким образом линейное функциональное представление зависимости урожайности гречихи от времени примет вид:

ў=f(x)=8,76+0,46х

Подставляя в полученное уравнение значения (х^j), определим расчетную урожайность по годам (ў):

Y₀₁=8,76+0,46∙1=9,22

Y₀₂=8,76+0,46∙2=9,68

Y₀₃=8,76+0,46∙3=10,14

Y₀₄=8,76+0,46∙4=10,60

Y₀₅=8,76+0,46∙5=11,06

у₂₀₁₂=8,76+0,46∙12=14,28

у₂₀₂₀=8,76+0,46∙20=17,96

Варианты расчета прогнозируемой урожайности для контроля:

У₂₀₂₀=у₂₀₀₆+0,46 ∙ х_{2020 -2006}=11,52+0,46∙14=17,96.