
- •Методические указания и примеры решения задач контрольной работы по мпур Графическое решение задачи лп
- •Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
- •Динамическое программирование
- •Понятие об игровых моделях.
- •Методы и модели решения игровых задач Принцип минимакса
- •Решения игр в смешанных стратегиях
- •Геометрический метод
- •Исключение доминируемых стратегий
- •Метод линейного программирования
- •Решение игры симплекс-методом
- •Игровые модели в условиях риска
- •Игры с природой
- •Биматричные игры
Динамическое программирование
Пример. Задача определения авиамаршрута из Москвы в Токио минимальной стоимости. Пусть даны цены на имеющиеся авиарейсы.
№ |
Рейс |
цена |
№ |
Рейс |
цена |
1 |
Москва - Новосибирск |
55 |
8 |
Иркутск - Якутск |
30 |
2 |
Москва - Якутск |
155 |
9 |
Иркутск - Владивосток |
90 |
3 |
Москва - Иркутск |
130 |
10 |
Якутск - Хабаровск |
30 |
4 |
Новосибирск - Иркутск |
75 |
11 |
Якутск - Владивосток |
70 |
5 |
Новосибирск - Владивосток |
170 |
12 |
Хабаровск - Владивосток |
35 |
6 |
Новосибирск - Якутск |
90 |
13 |
Хабаровск - Токио |
80 |
7 |
Иркутск - Хабаровск |
50 |
14 |
Владивосток - Токио |
40 |
Представим таблицу в виде ориентированного нагруженного графа (рис.1), вершины которого соответствуют городам, дуги – авиарейсам между ними, указанным в таблице, а их длины равны соответствующим ценам на авиарейсы.
Рис. 1.
Отметим, что полученный связный ориентированный граф не имеет петель и циклов, то есть является сетью. Вершина М (Москва) – вход, а вершина Т(Токио) – выход. Таким образом, задача состоит в определении пути минимальной длины от входа до выхода данной сети.
Определим
ранги вершин рассматриваемой сети.
В соответствии
с ростом ранга занумеруем вершины:
- Москва,
- Новосибирск ,
- Иркутск,
- Якутск,
-
Хабаровск,
-
Владивосток,
-
Токио.
Найдем минимальный путь от данной вершины до выхода.
Определим
последовательно длину
минимального маршрута
от вершины
до выхода
,
начиная с вершины
максимального ранга 6.
Шаг
1. Очевидно,
что
.
Шаг
2. Из вершины
(
В) ранга 5 выходит только одна дуга
–
рейс Владивосток – Токио длины
.
Следовательно, длина оптимального
маршрута из Владивостока в Токио
.
Причем оптимальный маршрут проходит
по дуге
( более того, он совпадает с этой дугой).
Выделим эту дугу на рисунке жирной
линией.
Рис. 5.
Шаг
3. Из вершины
(
Хабаровск) ранга
выходят две дуги:
(Хабаровск –> Токио) длины
и
(Хабаровск –> Владивосток) длины
.
Оптимальный маршрут из Хабаровска в
Токио либо проходит через Владивосток,
либо непосредственно ведет в Токио и
его длина равна минимальной длине этих
двух маршрутов:
.
Как видим, оптимальным
является маршрут
( Х –> В –> Т ) длины
),
проходящий по дуге
(Х –> В), которую мы также выделяем
жирной линией на следующем рисунке.
Рис. 6.
Шаг
4. Находим
оптимальный маршрут
из вершины
(Якутск)
ранга 3 (до Токио). Из
дуга
–
(Я – Х) длины
ведет в Хабаровск, оптимальный маршрут
из которого
и его длина
найдены выше. Если
проходит по этой дуге, то его длина равна
сумме
.
Если же оптимальный маршрут из
проходит по дуге
–
(Я – В) длины
через Владивосток (оптимальный маршрут
из которого
и его длина
уже найдены), то он имеет длину
.
Следовательно,
имеет длину
,
и пролегает по дуге
(Я
–> Х):
Рис. 7.
Шаг
5. Из вершины
(
Иркутск) ранга 2 выходят три дуги:
-
(И –> Я) длины
,
- (И –> Х) длины
и
–
(И –> В) длины
.
Следовательно, оптимальный маршрут из
Иркутска в Токио имеет длину
и
содержит дугу
,
которую мы снова выделяем жирной линией.
Рис. 8.
Шаг
6. Из вершины
(Новосибирск)
ранга 2 выходят три дуги:
(Н –> Я) длины
,
(Н –> И) длины
и
(Н –> В) длины
.
Следовательно, оптимальный маршрут из
Иркутска в Токио имеет длину
и проходит по дуге , которую выделяем жирной линией на следующем рисунке.
Рис. 9.
Шаг
7. Итак, мы
добрались до Москвы (вершины
ранга 0). Имеется всего три дуги:
(М –> Я) длины
,
(М –> И) длины
и
(М –> Н) длины
,
исходящие из
.
Следовательно, оптимальный маршрут
имеет длину
и проходит по дуге , выделенную жирной линией на следующем рисунке.
Рис. 10.
Двигаясь
из вершины М по жирным дугам, получаем
оптимальный маршрут
(М осква – Новосибирск – Якутск –
Хабаровск – Владивосток – Токио) из
Москвы в Токио, длина (стоимость) которого
равна
.
Игровые методы и модели.