Задание № 3

Использование математической системы MathCAD для численного решения инженерных задач.

Задания по этой теме предназначены для знакомства с наиболее простыми и часто применяемыми численными методами, как в процессе дальнейшего обучения, так и в профессиональной деятельности. К ним относятся интерполирование, интегрирование, решение системы линейных алгебраических уравнений.

Изучить возможности пакета MathCAD (выполнение арифметических вычислений, вычисление интегралов, решение уравнений, операции с матрицами и построение графика функции) можно посредством электронного учебника.

При заданных исходных данных решить следующие задачи:

Задача 1

Для функции заданной таблично по варианту, вычислить ее значения в промежутках между узловыми точкам, используя:

• Линейную интерполяцию:

  1. без использования программы MathCAD;

  2. с помощью программы MathCAD;

• Сплайн-интерполяцию при приближении в опорных точках к:

  1. кубическому полиному;

  2. параболической кривой.

Интерполированием функции называется нахождение нетабличных значений функций при промежуточных значениях независимой переменной.

Постановка задачи интерполяции

Простейшая задача интерполяции заключается в следующем. На отрезке [a, b] заданы n + 1 точки x_i = х₀, х_1…х_n, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих точках

f(x0) = y0, f(x1) = y1,….., f(xn) = yn.

Требуется построить функцию φ(х) (интерполяционная функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е. такую, что

φ (x0) = y0, φ (x1) = y1, ….., φ (xn) = yn.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = φ(х) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M(x_i,y_i) (i = 0, 1, ..., n) (Рисунок 1).

 

Рисунок 1. Интерполяционная функция

Необходимость интерполяции функций в основном связана с двумя причинами:

• Функция f(x) имеет сложное аналитическое описание, вызывающее определенные трудности при его использовании (например, f(x) является спецфункцией: гамма-функцией, эллиптической функцией и др.).

• Аналитическое описание функции f(x) неизвестно, т. е. f(x) задана таблично. При этом необходимо иметь аналитическое описание, приближенно представляющее f(x) (например, для вычисления значений f(x) в произвольных точках, определения интегралов и производных от f(x) и т. п.)

Различают два вида интерполяции: глобальная - соединение всех точек f(х) единым интерполяционным полиномом; локальная - соединение точек отрезками прямой (по двум точкам), отрезками параболы (по трем точкам).

Локальный вид интерполяции представлен простейшим и часто используемым видом интерполяции - линейной интерполяцией. По ней определяется тот интервал между двумя соседними узлами, в которой попадает заданное значение аргумента х, а функция y = f(x) в пределах этого интервала заменяется прямой. Тогда искомое значение функции определяется из уравнения:

Недостатком линейной интерполяции является то, что при определении искомого значения функции используются только два табличных значения.

Интерполяция средствами Mathcad

В MathCAD можно соединять точки данных прямыми линиями (линейная интерполяция) или соединять их отрезками кубического полинома (кубическая сплайн-интерполяция).

Функции интерполяции MathCAD определяют кривую, точно проходящую через заданные точки. Из-за этого результат очень чувствителен к ошибкам данных.  

При линейной интерполяции MathCAD соединяет существующие точки данных прямыми линиями. Это выполняется функцией linterp(Vx,Vy,x). Эта функция соединяет точки данных отрезками прямых, создавая таким образом ломаную. Интерполируемое значение для конкретного х есть ордината у соответствующей точки ломаной.

Чтобы возвратить интерполируемое значение y, соответствующее третьему аргументу x, используются векторы данных Vx и Vy. Аргументы Vx и Vy должны быть векторами одинаковой длины. Вектор Vx должен содержать вещественные значения, расположенные в порядке возрастания.

Кубическая сплайн-интерполяция позволяет провести кривую через набор точек таким образом, что первые и вторые производные кривой непрерывны в каждой точке. Эта кривая образуется путем создания ряда кубических полиномов, проходящих через наборы из трех смежных точек.

Сплайн-функции MathCAD:

• cspline (Vx,Vy);

• pspline (Vx,Vy);

• lspline (Vx,Vy).

Эти три функции отличаются только граничными условиями:

функция lspline генерирует кривую сплайна, которая приближается к прямой линии в граничных точках;

функция pspline генерирует кривую сплайна, которая приближается к параболе в граничных точках.

функция cspline генерирует кривую сплайна, которая может быть кубическим полиномом в граничных точках.

Они возвращают вектор коэффициентов вторых производных, который будем называть Vs, Вектор Vs используется в функции interp.

Функция interp (Vs,Vx,Vy,x) возвращает интерполируемое значение y, соответствующее аргументу x. Вектор Vs вычисляется на основе векторов данных Vx и Vy одной из функций pspline, lspline или cspline.