Практична робота №5

машинний РОЗВ’ЯЗОК НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

5.1 Мета роботи

1 Вивчення основних визначень і положень теорії чисельного розв'язку нелінійних рівнянь.

2 Вивчення основних методів чисельного розв'язку нелінійних рівнянь.

3 Розроблення програм і розв'язок на ЕОМ нелінійних рівнянь.

5.2 Короткі теоретичні відомості

Основні визначення

Під розв’язком нелінійного рівняння:

f(x)=0. (5.1)

розуміють відшукання коренів цього рівняння, тобто визначення значень , при яких виконується умова: .

Корінь називається простим, якщо . Корінь називається кратним, якщо . Ціле число m називається кратністю кореня , якщо для всіх k=1,2,...,m-1, а .

Розв’язок рівняння (5.1) проводиться в два етапи: етапу локалізації коренів і етапу ітераційного уточнення коренів. На етапі локалізації виділяється відрізок [a,b], всередині якого знаходиться тільки один корінь.

На етапі ітераційного уточнення коренів задається точність обчислень  і використовується ітераційний процес (ітераційна формула), у результаті якого обчислюються значення послідовності: При виконанні умови ітераційний процес закінчується.

Якщо в ітераційній формулі для обчислення наближення x_n використовується тільки значення x_n-1, то метод називають однокроковим, і k-кроковим, якщо використовується k попередніх наближень: x_n-k,x_n-k+1,...,x_n-1.

Швидкість збіжності ітераційного процесу визначають за допомогою виразу:

(5.2)

де число p називають порядком збіжності методу. Якщо p=1- збіжність лінійна, p>1- понад лінійна збіжність, p=2- збіжність квадратична.

Критерій закінчення. Точне значення кореня невідоме. Постає питання: коли ітераційний процес має бути завершений, щоб затверджувати, що . Для кожного ітераційного процесу існує свій критерій закінчення у виді нерівності: при виконанні якого завжди має місце нерівність:

Інтервалом невизначеності кореня називається інтервал , у якому будь-яке значення може бути коренем рівняння. Поява такого інтервалу пов'язана з похибкою обчислень. Величина визначається з умови:

, (5.3)

де - абсолютна гранична похибка при обчисленні значення функції y=f(x).

Оскільки значення визначає абсолютну граничну похибку , обчислення значення кореня (результату) через похибку обчислення значень функції (вхідних даних для задачі пошуку кореня), то величина називається абсолютним числом обумовленості задачі перебування кореня.

Методи розв’язку нелінійних рівнянь

Приведемо основні методи розв’язку нелінійних рівнянь:

а) метод бісекції. Вибирається відрізок [a,b], на кінцях якого функція має різні знаки, отже корінь знаходиться всередині цього відрізка. Цей відрізок поділяється навпіл і знову вибирається відрізок, на кінцях якого функція має різні знаки і т.д. У такий спосіб після n ітерацій маємо відрізок локалізації [a_n,b_n], довжина якого в 2ⁿ раз менше початкового відрізка [a,b]. Приймаючи x_n=(b_n+a_n)/2 маємо:

Даний метод має невисоку швидкість збіжності, але не вимагає щоб функція була неперервною. Однак цей метод не можна використовувати для пошуку кратних коренів.

б) метод простої ітерації. Рівняння f(x)=0 перетворюють до виду, зручного для організації ітерації: x=(x), при цьому функція (x) називається ітераційною функцією. На відрізку локалізації [a,b] вибирається початкове наближення x=x₀ і обчислюється x₁=(x₀). Продовжуючи цей процес, маємо:

.

Якщо існує , то одержуємо рівність: де - корінь. Метод сходиться при , а при - розходиться.

Критерій закінчення:

(5.4)

в) метод дотичних (метод Ньютона). Вибирається точка x₀[a,b] і в ній проводиться дотична до графіка функції y=f(x). За нове наближення x₁ приймається точка, в якій дотична перетинає вісь OX і т.д. У підсумку одержуємо ітераційну формулу Ньютона:

(5.5)

Необхідною і достатньою умовою збіжності методу Ньютона на відрізку локалізації x([a,b] є:

f (x)0, - (необхідна умова);

(5.6)

f ''(x)=0 - (достатня умова);

тобто знакосталість першої і другої похідної на відрізку локалізації.

г) метод хорд (модифікація методу Ньютона). На відрізку [a,b] похідну дотичну у формулі (5.5) заміняють наближеною рівністю:

тобто хордою. У підсумку одержуємо:

(5.7)

д) метод січних (модифікація методу Ньютона). Якщо тепер точку b у формулі (5.7) замінити на точку x_n-1, то одержимо формулу методу січних:

(5.8)

Метод січних є двоетапним.

Усі методи Ньютона (дотичних, хорд і січних) мають квадратичну збіжність.

Критерій закінчення методів Ньютона:

(5.9)