Практична робота №4

машинний РОЗВ’ЯЗОК систем ЛІНІЙНИХ

алгебраїчних РІВНЯНЬ

4.1 Мета роботи

1 Вивчення основних визначень і положень теорії нелінійних та систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

2 Вивчення основних чисельних методів розв'язку систем лінійних рівнянь.

3 Розробка чисельного алгоритму і розв'язок на ЕОМ нелінійних та систем лінійних рівнянь.

4.2 Короткі теоретичні відомості

1 Основні визначення

Система рівнянь виду:

(4.1)

або в скороченому записі:

називається лінійною алгебраїчною системою з n рівнянь з n-невідомими x_i (i=1,...,n). У матричній формі вона записується в такий спосіб:

де A - квадратна матриця, і - вектори стовпці виду:

Визначником ( детермінантом ) матриці А порядку n називається число D_n (det) рівне:

де індекси ,,...,ω (набувають усі можливі n! перестановок чисел 1,2,...n; k- число інверсій у даній перестановці (інверсія - кількість усіх можливих пар з індексів ,,...,ω, для яких виконується умова, що в парі перший індекс більше другого, наприклад, якщо > і ,<..., то в перестановці всього одна інверсія).

Також використовується наступне визначення детермінанта, що еквівалентно попередньому:

де - визначник матриці порядку (n-1), утвореної з матриці A викреслюванням першого рядка і i-ого стовпця.

Для існування одиничності розв'язку системи (4.1) необхідно і достатньо виконання умови det A0.

Методи розв'язку системи (4.1) поділяються на дві групи - прямі (точні) і ітераційні (наближені).

Прямі методи

Найбільш розповсюдженими є наступні прямі методи:

а) правила Крамера. Розв'язок системи (2.1) зводиться до знаходження значень:

де

(4.2)

б) метод Гаусса. Цей метод ґрунтується на приведенні методом виключення системи (4.1) до трикутного виду (прямій хід ):

(4.3)

а потім розв'язок цієї системи починають з визначення x_n і т.д. (зворотний хід).

Якщо система відразу зводиться до діагонального виду, то такий метод називається методом Жордана-Гаусса.

Для зменшення похибки заокруглення при зведенні матриці А до трикутного виду вибирається максимальний елемент у стовпці або в рядку і за допомогою перестановок його роблять головним (схема часткового вибору). Якщо головний елемент вибирається у всій матриці, то схема зветься глобальним вибором.

Алгоритм розв'язку системи з n рівнянь методом Гаусса з вибором головного елемента по стовпцях виглядає наступним чином.

Прямий хід. На k кроці вибирається головний елемент у k стовпці. Нехай це буде елемент у j -тому рядку , kjn. Верхній індекс у дужках вказує, що коефіцієнти рівняння отримані після (k-1) кроку виключення.

Перестановка j і k рядків робить цей елемент діагональним.

Далі здійснюється виключення x_k з рівнянь з номерами k+1,...,n за допомогою співвідношення:

(4.4)

Після n-1 кроків приходимо до системи рівнянь (4.3) із трикутною матрицею.

Зворотний хід

З останнього рівняння знаходимо . Далі визначаємо , а потім і т.д. до x₁ c допомогою співвідношення:

(4.5)

в) метод прогону. Даний метод застосовується для розв'язку трьох діагональних систем:

(4.6)

Метод складається з двох етапів прямого прогону - і зворотного прогону.

Прямий прогін: Величина x_i виражається через x_i+1 за допомогою коефіцієнтів A_i, B_i

. (4.7)

З першого рівняння знаходяться значення A₁ і B₁:

, . (4.8)

Підставляючи x₁=A₁·x₂+B₁ у друге рівняння (4.6) отримують:

a₂(A₁x₂+B₁)+b₂x₂+c₂x₃=d₂,

або

Згідно (4.7) знаходять A₂ і B₂

, (4.9)

Тобто знаючи A₁ і B₁ за цією формулою можна обчислити A₂ і B₂. Аналогічно підставляючи значення x_i-1=A_i-1x_i+B_i-1 в i-те рівняння (замінивши в (4.8) індекс і на індекс і-1, а індекс 2 - на індекс i) маємо:

a_i(A_i-1x_i+B_i-1)+b_ix_i+c_ix_i+1=d_i, i=1,2,...n.

Звідси можна записати загальну формулу для прямого прогону:

, i=2,...,n; (4.10)

яка дозволяє визначити наступні значення A_i, B_i через попередні A_i-1, B_i-1.

Після n кроків одержується значення A_n і B_n. Оскільки c_n=0, то A_n=0. Отже підстановкою у (4.7) є: x_n=B_n.

Зворотний прогін складається з послідовних обчислень за формулою (4.7) значень x_n-1, x_n-2 і т.д. до x₁.

Якщо для трьохдіагональної системи виконані умови b_ia_i+c_i, b_i>a_i, i=1,...,n, то ця система має єдиний розв'язок.

Ітераційні методи

Ці методи використовуються, як правило, при розв’язку рівнянь великого порядку, оскільки при ітераційному процесі не накопичується помилка заокруглення.

Задається деяке наближений розв'язок x⁽⁰⁾, потім виконується цикл обчислень (ітерацій) і обчислюється нове наближення x⁽¹⁾. Процес продовжується до одержання розв'язку із заданою точністю, тобто до виконання умов:

, i=1,2,...,n.

а) метод простої інтерполяції (Метод Якобі). Система рівнянь (4.1) зводиться до виду:

(4.11)

Задаються значення нульового наближення й обчислюється значення першого наближення , потім за допомогою обчислюється значення і т.д. до . Процес повторюється для значень Тут при обчисленні k наближення для використовується k-і наближення для значень і k-1 наближення для значень .

б) метод Гаусса-Зейделя. У цьому методі система (4.1) також зводиться до виду (4.11), при цьому для обчислення всіх значень k наближення для використовуються тільки значення (k-1) наближення .

Для збіжності інтерполяційного процесу Якобі і Гаусса-Зейделя достатньо виконання умови:

(4.12)