2.4 Контрольні питання

1 Визначення рівномірного наближення.

2 Визначення квадратичного наближення.

3 Поняття неперервної і точкової апроксимації.

4 Визначення багаточлена найкращого рівномірного наближення.

5 Використання залишкового числа у формі Лагранжа для оцінки похибки.

2.5 Таблиця індивідуальних завдань

№	Апроксимована функція f(x)	Степінь апроксимуючого полінома (n)	x1	x2
1		5	62	88
2		4	0.15(рад)	0.56(рад)
3		6	0.01(рад)	0.83(рад)
4		6	0.32(рад)	0.53(рад)
5		5	55	97
6		5	40	93
7		6	0.25(рад)	1.27(рад)
8		6	0.63(рад)	1.65(рад)
9		4	0.78(рад)	1.80(рад)
10		5	0.91(рад)	1.94(рад)
11		5	0.35(рад)	1.37(рад)
12		6	0.43(рад)	1.45(рад)
13		5	12	94
14		5	57	159
15		5	73	175

Практична робота №3

Інтерполяція і наближення функцій за допомогою методу Лагранжа, поліномів Ньютона і Чебишева

3.1 Мета роботи

1 Вивчення основних визначень і положень теорії інтерполяції функції.

2 Вивчення методів локальної і глобальної інтерполяції.

3 Інтерполяція функцій багаточленом Лагранжа.

3.2 Основні теоретичні відомості

Часто при наукових дослідженнях виникають ситуації, коли деяка функція відома тільки в певних точках. Така функція може бути отримана експериментально або вона задана у вигляді таблиці. Зрозуміло, що результати експерименту також можуть бути оформлені як таблиця. Допускається, що в точках N+1 відомі точні значення як аргумента , так і самої функції Нехай деяка крива, яка проходить через точки

Коли , наближення називають значенням інтерполяції (Латинське слово interpolatio переводиться як оновлення, зміна, переробка. Цей термін уведений в 1656р. англійським математиком Д.Уоллесом). Якщо або , то називають значенням екстраполяції.

Інтерполяція – це процес побудови інтерполяційної функції з метою знаходження проміжних значень табличної функції.

Інтерполяцією називається такий вид точкової апроксимації, коли апроксимуюча функція є алгебраїчним багаточленом (поліном) (x) степеня n, що у n+1 точці (вузлі) x_i (i=0,1,...,n), заданих на відрізку [a,b], збігається зі значенням апроксимованої функції f(x) у цих вузлах, тобто y_i=f(x_i)=(x_i), i=0,1,...,n.

Інтерполяційний багаточлен Лагранжа

Розглянемо глобальну інтерполяцію на відрізку [x₀,x_n], тобто побудову єдиного інтерполяційного багаточлена степеня n

(3.1)

який у n+1 вузлі x_i (i=0,1,...,n) збігається зі значеннями апроксимуючої функції.

(3.2)

Коефіцієнти a_k (k=0,1,...,n) визначаються із системи лінійних рівнянь (3.2) n+1 порядку.

При великих n необхідно розв’язати систему лінійних рівнянь великого порядку, тобто проводити великий обсяг обчислень. Уникнути цього дозволяє узагальнений багаточлен Лагранжа ступеня n:

. (3.3)

Функція в точці повинна дорівнювати одиниці і нулю в інших точках ,тобто

.

Рівність нулю k–го многочлена в усіх вузлах інтерполяції ,крім k–го ,означає,що можна записати у вигляді :

. (3.4)

Коефіцієнт A_k вводиться для того, щоб у точці x=x_k виконувалася умова . Отже, для того, щоб знайти значення A_k необхідно в (3.4) замість x підставити його значення у вузлі інтерполяції (x=x_k) і отримати результат прирівнявши до одиниці. В результаті отримаємо:

.

Звідси знаходимо:

.

Знаючи значення A_{k ,}знайдемо функцію . Для цього необхідно знайдене значення A_k підставити у вираз (3.4)

.

Тепер можемо знайти інтерполяційний многочлен Лагранжа шляхом підстановки функції у выраз (3.3):

P_n(x)= . (3.5)

Поліном Ньютона

Інтерполяція табличних функцій за допомогою наближення Лагранжа допускає, що степінь N полінома P_n(x) уже вибрана. На практиці величина N невідома. Тоді доцільно знайти декілька наближень P₁(x), P₂(x), … , P_n(x) і вибрати із них той, який задовольняє нашим вимогам. Якщо вибрати поліном Лагранжа , прийдеться кожний поліном будувати окремо. Що при полінома високої степені тягне за собою значне збільшення обчислювальних операцій. Інший підхід дає можливість застосувати рекурентні процедури для побудови поліномів P₁(x), P₂(x), … , P_n(x). Поліноми які при цьому отримують носять назву поліномів Ньютона.

Поліноми Ньютона будують за такою схемою:

У загальному випадку:

(3.6)

Поліноми (3.6) – це поліноми Ньютона

Степені з k центрами

Коефіцієнти полінома Ньютона обчислюють за відомими значеннями ординат функції у вузлових точках , :

,

Для маємо і з (3.6) отримаємо

.

Тепер візьмемо j=2 та i=1; x=x₁, , що дає можливість із (3.6) знайти

(3.7)

Для j=3, і вузлової точки x=x₂ , в якій f(x₂)=y₂, обчислюємо

(3.8)

Величину

. (3.9)

називають розділеною різницею першого порядку, а величину

. (3.10)

називають розділеною різницею другого порядку.

В загальному випадку:

(3.11)

В останній формулі k можна змінювати від 1 до N, що дає можливість отримати загальну формулу для обчислення коефіцієнтів a_k полінома Ньютона

(3.12)

Поліном Чебишева

При наближенні функції f(x) поліномом P_N(x) виникає питання: чи можливо зменшити похибку апроксимації шляхом вибору вузлів інтерполяції?

Відповідь на таке запитання буде позитивною, якщо вузли інтерполяції вибрати як корені полінома Чебишева. Такі вузли інтерполяції називають чебишевськими.

Многочленом Чебишева називається функція

(2.14)

де

Перш за все переконаємося, що функції (2.14), які подані як тригонометричні, насправді є многочленом при будь-якому k=0,1,2,….

Для k=0 маємо . Введемо позначення .

Тоді Знайдемо

За формулою суми косинусів будемо мати

Враховуючи те, що і будемо мати

Так як то:

(2.15)

Формула (2.15) рекурентно визначає послідовність функції , для k=1,2, … ; при цьому T₀(x)=1; i .