2.2 Короткі теоретичні відомості
Апроксимація
Нехай є функція f(x), вид якої дуже складний і для її обчислення потрібно багато часу або функція задана в деяких точках таблицею своїх значень
.
(2.1)
Як правило необхідно знати значення величини y практично при будь-яких значеннях аргументу x і цих значень потрібно багато. Як це реально зробити? Для розв'язку такої проблеми служить задача апроксимації функцій, у якій дану функцію f(x) приблизно заміняють (апроксимують) деякою функцією, так, щоб відхилення (x) від f(x) у заданому інтервалі [a,b] було мінімально можливим. Функцію f(x) називають апроксимованою, а функцію (x) апроксимуючою.
При наближенні на неперервній множині точок відрізка [a,b] апроксимацію називають неперервною (або інтегральною). Якщо наближення будується на заданій дискретній безлічі точок {xi} i=0,1,... відрізка [a,b], то апроксимацію називають точковою.
Рівномірне і середньоквадратичне наближення
Якщо наближення будується таким чином, що величина відхилення (модуль різниці двох цих функцій) задовольняє умові
(2.2)
то таке наближення (2.2) є рівномірним наближенням.
Часто використовується середньоквадратичне наближення функції f(x) функцією (x). Тут намагаються одержати мінімальну величину середньоквадратичного значення модуля різниці апроксимованої та апроксимуючої функцій на усьому відрізку [a,b]:
(2.3)
Перша формула використовується при неперервній апроксимації, а друга при дискретній апроксимації.
Апроксимація багаточленами (поліномами)
Найчастіше для апроксимації використовуються алгебраїчні багаточлени (поліноми) наступного виду
.
(2.4)
Максимальне значення степеня змінної x (значення величини n) називається порядком апроксимуючого багаточлена або порядком полінома.
Використання рядів для рівномірної апроксимації
Можливість побудови багаточлена, що рівномірно наближає дану функцію, випливає з теореми Вейєрштрасса про апроксимації. Зокрема, якщо f(x) на відрізку [a,b] розкладається у рівномірно збіжний ряд, то за апроксимуючий багаточлен можна взяти часткову суму ряду Тейлора і т.ін.
Розглянемо такі трансцендентні функції, що є сумами своїх рядів Тейлора:
(2.5)
Використавши перші члени ряду Тейлора, одержимо наближену формулу:
(2.6)
де,
(2.7)
Похибка
Залишок
ряду
є похибкою при заміні f(x)
багаточленом Pn(x),
тобто визначає абсолютну похибку
обчислення f(x)
із використанням формули (2.6). Для ряду
(2.5) абсолютна похибка буде не більшою
за абсолютною величиною залишкового
члена ряду Тейлора у формі Лагранжа:
(2.8)
де деяка невідома точка на відрізку [0,x].
Розкладання елементарних функцій у ряд Тейлора:
(2.9)
де - точка на відрізку [0,x].
2.3 Завдання
1 Обчислити за допомогою полінома n-ого степеня Pn(x), що рівномірно наближає на відрізку [a,b] функцію f(x), із таблиці завдань.
2 На ЕОМ набрати і налагодити програму.
4 Провести обчислення полінома Pn(x).
5 Оцінити відносну похибку обчислення Pn(x).
6 Провести розрахунки за допомогою програми MATLAB і порівняти результати.