Методы расчета случайных погрешностей

1. Для прямых измерений.

Пусть при измерениях возникают только случайные погрешности, систематические погрешности настолько малы, что ими можно пренебречь, а грубые ошибки отсутствуют.

Тогда, измеряя несколько раз величину , мы получаем серию значений . Каждое из измеренных значений содержит случайную погрешность

( ) (8)

Поскольку истинное значение неизвестно, то остаются неизвестными по величине и знаку случайные погрешности, возникающие при каждом измерении, поэтому для учета максимально возможной погрешности разность берется по модулю.

Теория показывает, что близким к истинному значению измеряемой величины является среднее арифметическое ряда отдельных измерений:

(9)

где – число повторных измерений. Среднее значение в данном методе используется как действительное, поэтому данный метод расчета погрешностей получил название метода среднего арифметического или метода среднего значения.

Находя для каждого измерения , аналогично (9) находим :

В теории погрешностей доказывается, что при увеличении числа случайная погрешность среднего арифметического стремится к нулю и может быть использована в качестве оценочного значения абсолютной погрешности. Окончательный результат измерений записывается в виде:

(10)

с указанием под результатом величины средней относительной погрешности. Средняя относительная погрешность определяется выражением:

(11)

При измерениях встречаются такие ситуации, когда случайные погрешности настолько малы, что повторные измерения дают значения, попадающие в пределы интервала погрешности прибора. В этом случае погрешность измерений можно взять из паспорта прибора. Если паспорт отсутствует, расчет погрешности производится по классу точности прибора (формула 6), а если класс точности не указан, то значение абсолютной погрешности принимают равным половине цены наименьшего деления шкалы прибора. В случае однократных измерений в качестве абсолютной погрешности тоже используется приборная погрешность. В любом случае, результирующая погрешность не может быть равной нулю. Если она таковой оказывается, то это является либо следствием неправильно выбранного для данного измерения метода расчета погрешностей, либо ошибки в расчетах.

2. Для косвенных измерений.

При косвенных измерениях искомую физическую величину определяют путем вычислений по результатам прямых измерений других величин. Для оценки погрешностей косвенных измерений величины необходимо вывести формулу для ее относительной погрешности . Пусть искомая величина является функцией нескольких переменных:

(12)

Тогда для расчета погрешности измерений можно использовать дифференциальный (другое название логарифмический) метод, в основе которого лежит свойство натурального логарифма:

Полный дифференциал логарифма исходной функции будет равен:

где - показатели степени аргументов

Таким образом, получаем:

Учитывая, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению ( ), и если приращение аргумента мало для функции, то дифференциал функции приблизительно равен ее приращению, то есть , получаем:

Значения измеряют один или несколько раз и обрабатывают по правилам оценки погрешностей прямых измерений. Если при логарифмировании и дифференцировании в выражении появились знаки «–», то для нахождения максимальной относительной погрешности их необходимо заменить на знаки «+».

Таким образом, для определения погрешностей косвенных измерений искомой величины используют формулу, полученную по следующим правилам:

• взять натуральный логарифм расчетной формулы;

• продифференцировать полученное выражение;

• произвести замену знаков дифференциала на знаки конечного приращения ;

• знаки “минус” заменить знаками “плюс”, так как суммарная погрешность всегда больше погрешности отдельных измерений;

• в полученную формулу подставить средние арифметические значения измеренных величин и их абсолютные погрешности;

• рассчитать относительную ( ), а затем абсолютную ( ) погрешности измерений искомой величины;

• результат измерений записать в виде: .

Пример:

Пусть в лабораторной работе требовалось определить удельное сопротивление проволоки с использованием закона Ома. Прямыми измерениями определяются сила тока , напряжение , длина , площадь поперечного сечения проволоки через радиус . Тогда расчетная формула будет иметь вид:

Выведем формулу для расчета погрешностей:

• ;

• ;(в данном случае число принято за постоянную);

• ;

• ;

• ;

• ;

• результат запишем в виде: (Ом·м)

Е_ρ=…%

В таблице 1 представлены уже готовые формулы расчета погрешностей для наиболее распространенных функциональных зависимостей, выведенные с использованием логарифмического метода.

Таблица 1.

Формулы расчета погрешностей для некоторых функциональных зависимостей

№	Вид зависимости	Формула относительной погрешности
1		=
2		=
3		=
4		=
5		=
6		=
7		=
8		=
9		=
10		=

Для расчета абсолютной погрешности измерений применяется формула:

Например, при определении количества теплоты, выделяющегося в нагревателе, с помощью закона Джоуля-Ленца в виде:

,

формула для расчета относительной погрешности измерения количества теплоты , согласно строке 3 таблицы 1, будет иметь вид:

Абсолютную погрешность измерений найдем как: