Задания для самостоятельного решения
Задача 2.
Найти точку пересечения
прямой
и плоскости
.
Решение. Пусть
Уравнение прямой задано в каноническом виде. Перепишем его в параметрической форме:
Подставим
,
и
в уравнение плоскости и решим его:
,
,
.
Найдем
,
и
,
подставляя в последнюю систему уравнений
найденное значение
:
.
Таким
образом точка
является точкой пересечения прямой
и плоскости
Задания для самостоятельного решения
3 Тема «Пределы и производные» Вопросы, выносимые на самостоятельную работу
Сформулируйте определение функции.
Что называется областью определения функции?
Какие способы задания функции Вы знаете?
Какие функции называются элементарными?
Сформулируйте понятие предела переменной величины.
Дайте определение понятия предела функции.
Какая функция называется ограниченной?
В каком случае функция называется бесконечно малой?
В каком случае функция называется бесконечно большой?
Теоремы о бесконечно больших и бесконечно малых величинах.
Сформулируйте основные теоремы о пределах.
Дайте определение непрерывности функции в точке.
Сформулируйте определение производной.
Таблица производных элементарных функций.
Правила дифференцирования.
Каков геометрический смысл производной?
Что называется касательной к кривой?
Какая функция называется сложной?
Таблица производных сложных функций.
Что называется дифференциалом функции?
Чем отличается дифференциал функции от ее приращения?
Группа а Задача 1
Найти указанные пределы.
Решение. 1)
;
2)
;
3)
.
1) Воспользуемся
непосредственной подстановкой предельного
значения переменной:
.
2) При непосредственной подстановке получаем неопределенность:
,
для того,
чтобы избавиться от данного вида
неопределенности, разложим числитель
и знаменатель дроби, стоящей под знаком
предела на множители, используя формулу:
,
где
- корни соответствующего квадратного
уравнения
.
,
,
,
или
,
.
Тогда
или
.
,
,
,
или
,
.
Таким образом,
.
Подставим найденные разложения в исходный предел:
.
3) При непосредственной подстановке получаем неопределенность:
.
Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, вынесем за скобки в числителе и знаменателе дроби старшую степень переменной:
,
Так как
,
то
.
Таким образом, после непосредственной
подстановки окончательно получаем:
