Задания для самостоятельного решения
Задача 3
По заданному уравнению построить кривую 2-го порядка, найти ее фокусы и эксцентриситет.
Решение. разделим обе части равенства на 1764:
.
Последнее уравнение – каноническое
уравнение эллипса. Его большая полуось
равна 7, а малая – 6, т.е.
,
.
Фокусы эллипса:
,
,
где
,
а его эксцентриситет -
В нашем случае
,
,
.
Задания для самостоятельного решения
Группа в Задача 1
Определить вид кривой, построить, найти координаты фокусов, эксцентриситет:
Решение.
Пусть дана кривая
.
Приведем данное уравнение
к каноническому виду. Для этого сгруппируем
отдельно члены, содержащие переменные
и
:
.
В каждой из скобок
вынесем коэффициент при квадрате
переменной, а затем выделим полный
квадрат, используя формулы сокращенного
умножения
:
.
Первые три слагаемые
в скобках образуют полный квадрат
разности
,
следовательно
.
Аналогичные действия осуществим для переменной :
.
Первые три слагаемые
в скобках образуют полный квадрат суммы
,
следовательно
.
Тогда исходное уравнение примет вид:
,
,
.
Введем обозначения:
.
Произведенную замену будем рассматривать,
как преобразование декартовых координат
в координаты
при параллельном сдвиге координатных
осей. Причем новое начало координат
находится в точке
.
В этой системе координат наше уравнение
примет вид:
.
Это каноническое
уравнение эллипса. Его полуоси
.
Кроме того,
,
следовательно эксцентриситет
.
Остается найти координаты вершин и
фокусов эллипса. В новой системе
координаты вершин таковы:
;
координаты фокусов
.
Так как старые координаты выражаются
через новые по формулам
,
то, возвращаясь к первоначальной системе
координат получим:
,
.
