1 Тема «Линейная и векторная алгебра» Вопросы, выносимые на самостоятельную работу

1. Матрицы и действия с ними.

2. Определители и их свойства.

3. Способы вычисления определителей.

4. Минор и алгебраическое дополнение.

5. Вычисление определителей 4 порядка.

6. Ранг матрицы.

7. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): определение СЛАУ, матрица СЛАУ, расширенная матрица СЛАУ, определитель СЛАУ, столбец свободных членов, столбец неизвестных.

8. Что называется решением СЛАУ?

9. Теорема Кронекера – Капелли.

10. Решение СЛАУ методом Крамера.

11. Обратная матрица: определение, теорема существования, способ вычисления.

12. Решение СЛАУ матричным методом.

13. Решение СЛАУ методом Гаусса.

14. Определение вектора, виды векторов.

15. Линейные операции над векторами в аналитической и геометрической форме.

16. Скалярное произведение: определение и свойства.

17. Геометрические приложения скалярного произведения.

18. Векторное произведение: определение и свойства.

19. Геометрические приложения векторного произведения.

20. Смешанное произведение: определение и свойства.

21. Геометрические приложения смешанного произведения.

Группа а Задача 1

Вычислить .

, ,

Решение.

.

Задания для самостоятельного решения

1. , , .

2. , , .

3. , , .

4. , , .

5. , , .

6. , , .

7. , , .

8. , , .

9. , , .

10. , , .

11. , , .

12. , , .

13. , , .

14. , , .

15. , , .

16. , , .

17. , , .

18. , , .

19. , , .

20. , , .

21. , , .

22. , , .

23. , , .

24. , , .

25. , , .

26. , , .

27. , , .

28. , , .

29. , , .

30. , , .

Задача 2

Решить заданную систему уравнений, пользуясь формулами Крамера. (Определители вычислять различными способами).

Решение. Подсчитаем сначала главный определитель системы , воспользовавшись следующим правилом вычисления определителей третьего порядка (разложением по первой строке):

.

Так как ≠0, делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Для его отыскания решения вычислим вспомогательные определители , , .

Определитель вычислим методом треугольников:

.

Определитель вычислим диагональным методом:

.

Определитель вычислим методом разложения по второму столбцу:

.

Далее, воспользовавшись формулами Крамера, окончательно получим

Осуществим проверку правильности полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:

Все три равенства верные, поэтом делаем вывод о правильности полученного ранее решения x=0, y=-1, z=2.

Задания для самостоятельного решения