Задача 2

_{Найти 1) точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница; 2) приближенное значение интеграла по формуле прямоугольников, разбивая отрезок интегрирования на 10 равных частей и производя округление до четвертого десятичного знака.}

Решение. Пусть дан интеграл .

.

Задания для самостоятельного решения

1.

2.  

3.  

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

Задача 3

_{Построить на плоскости фигуру, ограниченную данными линиями и вычислить ее площадь.}

Решение. пусть фигура ограничена линиями у = 2х² – х – 2 и у = -х² + х – 1.

Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:

2х² – х – 2 = -х² + х – 1 3х² – 2х – 1 = 0,

D = 16, х₁ = , х₂ = .

Вычисление площади осуществляем по формуле S = , где f₁(x), f₂(x) - кривые, ограничивающие фигуру (f₂(x) f₁(x)).

В нашем случае

.

Задания для самостоятельного решения

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

Задача 4

_{Вычислить объем тела, полученного вращением данной фигуры:}

Решение. у = 8х², прямой у = -6х +14 вокруг оси Ох.

Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого решим уравнение 8х² = -6х + 14 или 4х² + 3х – 7 = 0.

Легко убедиться, что х₁ = - , х₂ = 1. Первому квадранту соответствует корень х₂ = 1.

Найдем теперь абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох, решив уравнение

–6х + 14 = 0, откуда х = .

Таким образом, можно считать, что тело вращения ограничено при 0 х 1 поверхностью, образованной вращением параболы у = 8х² вокруг оси Ох, а при 1 х - вращением прямой у = -6х + 14.

Искомый объем ищем по формуле

Для вычисления второго интеграла используем подстановку . Тогда и .

Отсюда

.

Задания для самостоятельного решения

1. _{вокруг оси ОХ.}

2. _{вокруг оси OX.}

3. _{вокруг оси OY.}

4. _{вокруг оси ОY.}

5. _{вокруг оси ОY.}

6. _{вокруг оси ОХ.}

7. _{вокруг оси ОХ.}

8. _{вокруг оси ОY.}

9. _{вокруг оси ОХ.}

10. _{вокруг оси ОY.}

11. _{вокруг оси ОY.}

12. _{вокруг оси ОХ.}

13. _{вокруг оси ОХ.}

14. _{вокруг оси ОХ.}

15. _{вокруг оси ОY.}

16. _{вокруг оси ОY.}

17. _{вокруг оси ОХ.}

18. _{вокруг оси ОХ.}

19. _{вокруг оси ОY.}

20. _{вокруг оси ОХ.}

21. _{вокруг оси ОХ.}

22. _{вокруг оси ОХ.}

23. _{вокруг оси ОХ.}

24. _{вокруг оси ОY.}

25. _{вокруг оси ОY.}

26. _{вокруг оси ОХ.}

27. _{вокруг оси ОХ.}

28. _{вокруг оси ОY.}

29. _{вокруг оси ОХ.}

30. _{вокруг оси ОY.}

Группа в Задача 1

Найти неопределенные интегралы.

а) ; б)

Решение.

а) Т.к. ( , то

.

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Итого:

б) . Применим подстановку , тогда , а .

.

Задания для самостоятельного решения