Упражнение 12.23. Система организации очереди м/м/1 с ограниченным доступом

Мы рассматриваем М/М/1 -систему организации очереди с одним обслуживающим прибором и бесконечной очередью. Клиенты прибыва­ют согласно Пуассоновскому процессу со скоростью X клиентов в едини­цу времени, и время обслуживания — экспоненциально распределенное со средней величиной цг¹. Сервер выходит из строя со скоростью у (в состоя­нии свободно) и восстанавливается с интенсивностью со. Все временные интервалы экспоненциально распределены. Когда сервер выходит из строя, клиенты не обслуживаются. Для заявки от клиента, который нахо­дится в обслуживании, когда сервер сломался, обслуживание возобнов­ляется, когда сервер восстановлен. Заявки от клиентов, прибывающие в течение периода ремонта, теряются.

Состояние системы определяется как (i,j), где i (г = 0,1,2,...) - общее количество клиентов в системе и у (J - 0, 1) — состояние обслуживающего прибора (сервера): 0 — при обслуживании, 1 — при ремонте.

1. Создать диаграмму переходов состояний системы.

2. Найти соотношение времени, когда обслуживающий прибор сломан и когда обслуживающий прибор работает.

3. Найти вероятности состояния системы согласно предположению

о статистическом равновесии.

4. Какова вероятность (выраженная вероятностями состояний), что вызов:

• обслуживается немедленно без задержки (из-за очереди или ремонта)?

• задерживается перед обслуживанием?

• потерян?

5. Какие ограничения должны быть выполнены между X, ц, и у, когда система способна достигнуть статистического равновесия?

6. Объяснить распределение Кокса для временного интервала от начала до завершения обслуживания клиента.

У У

Упражнение 12.24. Модель ремонта машин Пальма и обобщенное совместное использование процессора

Мы рассматриваем модель ремонта машин Пальма с четырьмя тер­миналами и двумя серверами, работающими параллельно. Времена раз­думья — экспоненциально распределенные со средней величиной у~' = 2 единицы времени. Времена обслуживания — экспоненциально распреде­ленные со средней величиной А^-1 = 1 единицы времени. Состояние систе­мы определено обычным способом как число обслуживаемых терминалов или находящихся на ожидании.

1. Найти нагрузку, предлагаемую этим двум серверам.

2. Создать диаграмму переходов состояний и найти вероятности состо­яния р (/), / = 0, 1, ..., 4 в момент статистического равновесия.

3. Найти среднее число терминалов, которые находятся в состоянии:

1. размышления,

2. ожидания,

3. обслуживания.

4. Найти потери по нагрузке С.

5. Найти, применяя теорему Литла к очереди и на оба сервера, время реакции, которое является математическим ожиданием суммы вре­мени ожидания обслуживания + времени обслуживания.

Теперь примем, что времена обслуживания подчиняются закону гиперраспределения:

Состояние системы теперь определено как (/,_/), где / (/ = 0, 1,4) — число заявок, обслуживаемых в фазе один, и j (j = 0, 1,..., 4) - число зая­вок, обслуживаемых в фазе два, 0 < / +j < 4:

Также принимаем, что два сервера работают в режиме совместного использования процессора, когда более чем два терминала находятся в очереди. Таким образом, скорость обслуживания в состоянии (i,j) тогда

i +j i +j

Когда два или меньше терминалов обслуживаются, каждый терминал имеет собственный сервер.

6. Создать двухмерную диаграмму переходов состояний.

7. Рассмотреть диаграмму переходов состояний: показать, что

а) они обратимы,

Ь} имеют мультипликативную форму.

8. Показать, что соединенные вероятности состояния p{i + j =х), х = 0, 1, ..., 4; являются такими же, как вероятности состояния, полученные в вопросе 2.

Упражнение 13.4. Система организации очереди М/Е₂/1

Мы рассматриваем систему организации очереди М/Е₂/1, куда при­бывают вызовы с интенсивностью А. и временем обслуживания - распре­деленным в соответствии с Эрланговским распределением с интенсивно­стью 2р в каждой из двух фаз.