4. Найти (выраженные вероятностями состояния) потери по времени и потери по вызовам для всплеска разговора. Упражнение 12.16. Модель восстановления машин

Мы рассматриваем модель восстановления машин с 4 терминала­ми, имеющими экспоненциально распределенные времена раздумья с интенсивностью X ~ 3 события в единицу времени. Два различных оди­ночных сервера обслуживают терминалы. С вероятностью */з терминал нуждается в обслуживании от сервера 1, и с вероятностью ²/з терминал нуждается в обслуживании от сервера 2. Сервер 1 имеет экспоненциально распределенное время обслуживания со средней величиной ц”¹ = 1 еди­ница времени, и сервер 2 имеет экспоненциально распределенное время обслуживания со средней величиной = Vi единицы времени. Терминал, обслуживаемый одним сервером, начинает новое время раздумья.

В модели восстановления машин есть два типа ошибок, каждая из которых нуждается в специализированном сервере.

1. Найти для одного размышляющего терминала интенсивность посту­пления заявок на сервер 1 и сервер 2 соответственно.

2. Создать диаграмму переходов состояний системы, когда мы опреде­ляем состояние системы (/,/), О < i,j i+j< 4, где /' и, соответственно j, число терминалов в сервере 1, соответственно в сервере 2.

3. Показать, что диаграмма переходов состояний обратима.

4. Найти вероятности состояния системы, когда система находится в статистическом равновесии.

5. Найти использование (обслуженную нагрузку) двух одиночных сер­веров.

6. Найти среднее время ожидания для терминала, который должен обслуживаться в сервере 1.

Упражнение 12.17. Система с ограниченной очередью

Мы рассматриваем классическую систему организации очереди М/М/2, которая имеет 2 обслуживающих прибора и 4 места ожидания так, чтобы самое большее в системе могли быть размещены заявки от 6 клиен­тов. Заявки от клиентов прибывают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью X = 1 в единицу времени клиента, а времена пребывания в системе являются экспоненциально распределенными со средней вели­чиной ц ¹ = 1 единице времени.

1. Найти предложенную нагрузку.

2. Создать диаграмму переходов состояний для системы, где мы опре­деляем состояние х как общее количество клиентов в системе (либо находится на обслуживании, либо ожидает в очереди) (х = О, 1,6). Найти вероятность того, что заявка: (а) будет обслужена немедленно,

(Ь) будет обслужена после задержки, или (с) будет блокирована.

Разобьем систему на две идентичных подсистемы так, чтобы каждая подсистема имела один обслуживающий прибор и два места ожидания. Во время прибытия для заявки от клиента выбирается одна из этих двух систем с вероятностью, которая пропорциональна числу свободных пози­ций (обслуживающих приборов + места ожидания). Состояние системы определено как (/,/), 0 < i,j < 3, где / обозначает число заявок от клиентов в первой подсистеме и / — число заявок от клиентов во второй подсистеме. Первая подсистема, таким образом, выбирается с вероятностью

а вторая подсистема выбирается с вероятностью

Когда для заявки клиента выбирают подсистему, он остается в этой подсистеме.

3. Создать двухмерную диаграмму переходов состояний системы.

4. Показать, что диаграмма переходов состояний обратима.

5. Найти вероятности состояния.

6. Найти вероятность, что заявка от клиента блокирована, и объяс­нить, почему она больше, чем вероятность, полученная в вопросе 2.

Упражнение 12.19. Система организации очереди М/М/3

Мы рассматриваем классическую систему организации очереди Эрланга М/М/3 , имеющую 3 обслуживающих прибора и неограниченное число мест ожидания в очереди. Заявки от клиентов поступают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью X=2 в единицу времени кли­ентов, а время обслуживания экспоненциально распределено с интенсив­ностью. Состояние системы определено как общее количество клиентов в системе.

1. Найти предложенную нагрузку. Выполнены ли условия статистиче­ского равновесия?

2. Построить диаграмму переходов между состояниями и найти вероятно­сти состояний, когда система находится в статистическом равновесии.

3. Вычислить вероятность времени ожидания (С-формула Эрланга), используя рекурсивную формулу для В-формулы Эрланга, чтобы вычислить С-формулу. В решении должны быть использованы отдельные шаги рекурсии.

4. Найти (а) среднюю длину очереди в случайный момент времени, (b) среднее время ожидания для всех клиентов, и (с) среднее время ожи­дания для клиентов (время ожидания > 0).

5. (Расширенный вопрос) При рассмотрении примите условие, что на эти три сервера претендуют в последовательном порядке, и най­дите нагрузку, которую обслуживает каждый из этих трех серверов (используйте данные, полученные при ответе на вопрос 3).

6. Вывести рисунок диаграмму фазового перехода во время реакции (время обслуживания + возможное время ожидания). Найдите сред­нюю величину и коэффициент формы этого времени реакции.