Упражнение 10.4. Системы с потерями со взаимной перегрузкой
Мы рассматриваем систему с потерями с двумя обслуживающими приборами. Вызовы прибывают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью 20 вызовов в час. Время пребывания в системе экспоненциально распределенное, со средней величиной 180 секунд. Дать числовые ответы.
Найти предложенную нагрузку.
Вычислить, используя рекурсивную формулу для В-формулы Эрланга, характеристики перегрузки системы (потери по времени равняется потерям по вызовам и потерям по нагрузке). Покажите отдельные шаги рекурсии.
Назовем вышеупомянутую систему подсистемой. Предположим теперь, что система состоит из двух подсистем вышеупомянутого типа (полная интенсивность поступления вызовов равняется 40 вызовам в час, имеется всего 4 полностью доступных обслуживающих прибора).
Создать одномерную диаграмму переходов состояний для полной системы и вычислить согласно предположению о статистическом равновесии вероятности состоянияр (/') (i = 0, 1, 2, 3, 4).
Система работает следующим образом.
Для каждого вызова находят обслуживающий прибор в своей собственной подсистеме. Если оба обслуживающих прибора также заняты в этой системе, она блокируется. Состояние системы обозначается
(/,./) О < /, j < 2;
где i и соответственно j обозначают число занятых обслуживающих приборов в подсистеме 1, соответственно в подсистеме 2.
Создать двухмерную диаграмму переходов состояний для этой системы, используя следующие состояния.
© © ©
©
©
©
©
Вычислить вероятности состояний двухмерной диаграммы переходов состояний, учитывая симметрию и используя объединенные вероятности состояний, рассчитанные в вопросе 3. (Все состояния в вопросе
с несколькими занятыми обслуживающими приборами, полученные в вопросе 3, объединены в единственное состояние).
Упражнение 10.7. Многомерная система с потерями
Мы рассматриваем полностью доступную систему с потерями с п =5 каналами, на которую поступают два потока нагрузки. Все процессы поступления вызовов и времена обслуживания имеют тип М. (Пуассоновский экспоненциальный) Все параметры приведены ниже в единицах времени:
Поток нагрузки 1: Интенсивность поступления X, = 2,
Среднее время обслуживания ц.'1 = 1,
Каждый вызов требует d) = 1, сервера.
Поток нагрузки 2: Интенсивность прибытия Х2 = 1,
Среднее время обслуживания ц~‘= Уг,
Каждый вызов требуетd2= 2 сервера.
Если попытки вызова не могут быть обслужены при заданной пропускной способности во время их поступления, то это они теряются (Явные потери вызовов).
Создать двухмерную диаграмму переходов состояний системы, где состояние (i,j) обозначает, что, i каналов, заняты вызовами, составляющими нагрузку типа 1 (/ = 0, 1, 2, 3, 4, 5), и j каналы заняты вызовами типа 2 (/' = 0, 2, 4), где мы имеем i+j < 5.
Показать, что диаграмма переходов состояний обратима, и найти все вероятности состояний р (/, у), выраженных через р (0, 0). Найдите потери по времени, потери по вызовам и потери по нагрузке для обоих потоков нагрузки.
Пусть p(j), обозначает суммирование всего состояния, где общее количество занятых серверов:
j
х=0
Показать, что следующая рекурсивная формула справедлива для системы, которую рассматривают:
;=
i