2. Биноминальное распределение (модель Энгсета)

Мы рассматриваем систему с ограниченным числом источников (абонентов) S. Источник переключается из состояния «свободно» в состояние «занято» и наоборот. Свободный источник в течение вре­менного интервала передает заявки с экспоненциально распределенной интенсивностью у. Источник занят в течение экспоненциально распреде­ленного временного интервала (время обслуживания, время пребывания в системе) с интенсивностью р (рис. 8.2). Этот вид источников называется спорадическими источниками или источники включить /выключить. Такой тип нагрузки называется Чистой случайной нагрузкой типа два (РСТ11) или псевдослучайной нагрузкой.

В этой секции предполагается, что число каналов/пучков каналов п больше или равняется числу источников (n>S), так, чтобы не было потерь вызовов. Предполагается, что п и S - целые числа, но можно рассматри­вать и не целые значения чисел (Iversen и Sanders, 2001 [43]).

Состояние

Занято

Свободно

Время ►

поступление

возврат

поступление

Рисунок 8.2. Каждый отдельный источник является либо свободным, либо занятым, и ведет себя независимо от всех других источников

1. Уравнения равновесия

Мы интересуемся только вероятностями устойчивых состояний p(i). Они пропорциональны времени, которое процесс находится в состоянии [/']. Наши вычисления основаны на диаграмме переходов состояний на

рис. 8.3. Мы рассматриваем сечения между соседними состояниями и находим:

5? •/’(О)

(8.1)

(S- 1)у •/>(!) ⁼ 2 ц 'Р(2),

(S- /- 1)у -p(i-l) = гц •/>(/'),

(S-Oy-MO = 0 + 1)ц-М*'+1) ,

1 у М-У- 1) = £ц-М*).

$7 (S~l)y 2 у У

сЮС-СЮэ-^

И 2ц (»У-1)ц .Уц

Рисунок 8.3. Диаграмма переходов состояний изображает схематиче­ски Биноминальный случай (секция 8.2). Число источников Sменьше или равно числу каналов n(n<S)

Все вероятности состояний могут быть выражены через р (0):

— -Р(0) И

(J- 1)т

2ц

МО)'

МО)'

М 1) М 2)

■Ml)

(S-i- 1)У /ц

(£- /)у

МО

Mi + 1) =

/

1+1

(г + 1) ц

/>(/ - 1) = р(0) ■ МО = МО)'

МО)

М*У)

•М*?- 1)

Полная сумма всех вероятностей должна быть равна единице:

■кг-

/К0М1 + -М , (8.2)

где мы использовали развернутый бином Ньютона; обозначая Р = У/ц> мы получаем:

'^,(0)=oTfF' <⁸-³>

Параметр р — предложенная нагрузка на свободный источник (число попыток вызова в единицу времени для свободного источника - пред­ложенная нагрузка от занятого источника является нулевой), тогда мы находим:

pi о - т._Р' ¹

ij ^к (1+ Р)⁵

ij Vi+pJ \i+ p

это выражение называется биноминальным распределением (табли­ца 6.1). Наконец, мы получаем:

Р У №

1 + р |i + у 1/у + 1 /ц '

P(i) = a)^s-‘, i = 0 <S<n, (8.4)

В том случае, когда попытка вызова от свободного источника никог­да не блокируется, параметр а равен обслуженной нагрузке у на один источник (а=у) — он является эквивалентным вероятности того, что источ­ник занят в случайный момент времени. Это также видно из рис. 8.2, так как все точки поступления и возврата на осях времени — точки регенерации (точки равновесия). Цикл от начала занятого состояния (поступления) до начала следующего занятого состояния представлен для всей оси времени,

и математические ожидания времени получены в среднем по одному циклу. Заметим, что для систем с блокировкой мы имеем уф а (см. секцию 8.3).

Биноминальное распределение, полученное в (8.4), иногда в теории теле­трафика называют распределением Бернулли, но мы этого избегаем, так как в статистике это название используется для распределения с двумя точками.

Формула (8.4) может быть получена с применением элементарных соображений. Все абоненты могут быть разбиты на два класса: свобод­ные и занятые. Существует вероятность того, что произвольный абонент принадлежит классу занятых (у=а) и не зависит от состояния всех дру­гих абонентов, так как система не имеет блокировки, и попытки вызова всегда принимаются. Есть всего Sабонентов (источников), и вероятность того, что i источников заняты в произвольный момент />(/), определяется Биноминальным распределением (8.4) и таблицей 6.1.