1.13. Конечное вероятностное пространство

Пусть производится некоторый опыт (эксперимент), который имеет конечное число возможных исходов w₁, w₂, w₃,.., w_n. В этом случае Ώ = { w₁, w₂, w₃,.., w_n } (или коротко Ώ = {w}) — конечное пространство, S — алгебра событий, состоящая из всех (их 2ⁿ) подмножеств множества Ώ.

Каждому элементарному событию w_i  Ώ, i = 1,2,... ,п поставим соответствие число p(w_i), которое назовем «вероятностью элементарного события», т. е. зададим на Ώ числовую функцию, удовлетворяю двум условиям:

1) условие неотрицательности: p(w_i) ≥ 0 для любого w_i Ώ;

2) условие нормированности = 1.

Вероятность Р(А) для любого подмножества А  Ώ , определим как сумму

Р(А) = (1.19)

т. е. вероятностью Р(А) события А назовем сумму вероятностей элементарных событий, составляющих событие А.

1.14. Условные вероятности

Пусть А и В — два события, рассматриваемые в данном опыте. На­ступление одного события (скажем, А) может влиять на возможность наступления другого (В). Для характеристики зависимости одних со­бытий от других вводится понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события В при условии, что произошло событие А, называется отношение вероятности произведения этих со­бытий к вероятности события А, причем Р(А) ≠ 0, обозначается сим­волом Р(В|А).

Таким образом, по определению

Р(В|А)= P(A)≠0 (1.20)

Вероятность Р(В), в отличие от условной, называется безусловной вероятностью.

Аналогично определяется условная вероятность события А при условии В, т.е. Р(А|В):

Р(А|В) = P(B)≠0 (1.21)

Отметим, что условная вероятность, скажем Р(ВА), удовлетворяет аксиомам Колмогорова (п. 1.11): Р(ВА) ≥ 0, очевидно; Р(ΏА)= ; P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A), если BC=. Поэтому для условной вероятности справедливы все следствия (свойства) из аксиом, полученные в п. 1.12. Формула (1.20) принимает­ся по определению при аксиоматическом определении вероятности: в случае классического (геометрического, статистического) определение она может быть доказана.

Пример 1.25. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последователь- но вынимают два шара. Какова вероятность того, что 2-й шар окажется

белым при условии, что 1-й шар был черным?

Решим задачу двумя способами.

1. Пусть А — 1-й шар черный, В — 2-й шар белый. Так как событие А произошло, то в урне осталось 8 шаров, из которых 2 белых. Поэтому P(В|А) =

2. Найдем Р(ВА) по формуле (1.20). Очевидно, что Р(А)= . Находим Р(АВ): n= 98 = 72 — общее число исходов (появление двух шаров). Событию АВ благоприятствуют т = = 14 исходов. Поэтому Р(АВ) = . Следовательно, Р{В|А) = .

1.15. Вероятность произведения событий. Независимость событий

Из определения условной вероятности (п. 1.14) следует, что

Р(АВ) = Р(А)Р(ВА)=Р(В)-Р(АВ), (1.22)

т. е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

Равенство (1.22) называют правилом или теоремой (для схемы слу­чаев оно доказывается) умножения вероятностей. Это правило обоб­щается на случай п событий:

P(A₁ • А₂... • А_n) =

Р(А₁)  Р(А₂А₁)  Р(А₃А₁ • А₂) •...  Р(А_n\А₁ А₂… A_n-1). (1.23)

Так для 3-х событий A₁, А₂, А₃ получаем

P(A₁ А₂  А₃) = Р((A₁ А₂) А₃) = Р(А₁А₂)  Р(А₃А₁ • А₂)=

Р(А₁)  Р(А₂А₁)  Р(А₃А₁ • А₂).

Пример 1.26. В коробке находится 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Наудачу последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 1-й шар будет белым, 2-й — синим, 3-й — черным?

Введем следующие события: A₁ — первым вытащили белый шар, А₂ — вторым — синий, А₃ — третьим — черный. Тогда интересую­щее нас событие А представится в виде А= A₁ А₂  А₃ . По прави­лу умножения вероятностей Р(А) = Р(А₁)  Р(А₂А₁)  Р(А₃А₁ • А₂). Но Р(А₁)= ; Р(А₂А₁)= , так как шаров осталось 8, а число благоприятных случаев для события А₂ равно 3; Р(А₃А₁ • А₂) = , так как уже два шара (белый и синий) вытащены. Следовательно, P(A)=

Правило умножения вероятностей имеет особо простой вид, если события, образующие произведение, независимы.

Событие А называется независимым от события В, если его услов­ная вероятность равна безусловной, т. е. если выполняется равенство

Р(А|В) = Р(А). (1.24)

Лемма 1.1 (о взаимной независимости событий). Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Из равенства (1.22), с учетом равенства (1.24), следует Р(В|А) = т.е.

Р(ВА) = Р(В), (1.25)

а это означает, что событие В не зависит от события А.

Можно дать следующее (новое) определение независимости собы­тий.

Два события называются независимыми, если появление одного из

них не меняет вероятность появления другого.

Для независимых событий правило умножения вероятностей (1.22) принимает вид:

Р(АВ) = Р(А)Р(В). (1.26)

т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна про­изведению вероятностей этих событий.

Равенство (1.26) часто используют в качестве определения (еще од­ного!) независимости событий: события А и В называются независимы­ми, если Р(А  В) = Р(А)  Р(В).

Можно показать, что если события А и В независимы, то незави­симы события и В, А и , и .

На практике о независимости тех или иных событий часто судят исходя из интуитивных соображений и анализа условий опыта, считая независимыми события, «между которыми нет причинно-следственных связей».

Понятие независимости может быть распространено на случай n событий.

События А₁, А₂, … ,А_п называются независимыми (или независимыми в совокупности), если каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных событий и от каждого в отдельности. В противном случае события А₁, А₂, … ,А_п называются зависимыми.

Для независимых событий их условные вероятности равны безусловным, и формула (1.23) упрощается

Р(А₁ А₂ … А_n) = Р(А₁) Р(А₂) •... • Р(А_n). (1.27)

Из попарной независимости событий А₁, А₂, … ,А_n (любые два и них независимы) не следует их независимость в совокупности (обратное верно).

Убедимся в этом, рассмотрев следующий пример.

Пример 1.27. Производится выбор (наудачу) флага из 4-х, имеющихся в наличии: красного, голубого, белого и трехцветного (красно-бел голубого). Исследовать на независимость события: К — выбранный флаг имеет красный цвет, Г — имеет голубой цвет; Б — имеет белый цвет.

Возможных исходов выбора 4; событию К благоприятствуют 2 исхода (красный цвет имеется у двух флагов). Поэтому Р(К)= . Аналогично находим, что Р(Г) = Р(Б) = . Событию КГ — выбран флаг, имеющий 2 цвета (красный и голубой), — благоприятствует один исход. Поэтому, Р(К • Г) = . И так как Р(К • Г) = = = Р(К) • Р(Г) , то события К и Г независимы. Аналогично убеждаемся в независимости: событий К и В, Б и Г. Стало быть, события К, Б, Г попарно независимы. А так как Р(К  Г • Б) = ≠ Р(К) • Р(Г) • Р(Б) = , то события К, Г и Б не являются независимыми в совокупности.