2.5. Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величи­ну. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числовые параметры, характеризующие отдельные существенные свойства (черты) закона распределения с. в. Такие чи­сла принято называть числовыми характеристиками с. в.

Важнейшими среди них являются характеристики положения: ма­тематическое ожидание (центр распределения с. в.). мода, медиана; ха­рактеристики рассеяния: дисперсия (отклонение значений с. в. от ее центра), среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание случайной величины

Математическим ожиданием (или средним значением) д. с. в. X,

— имеющей закон распределения р_i = Р{Х = x_i}, i= 1,2, 3,... , n, назы­вается число, равное сумме произведений всех ее значений на соответ­ствующие им вероятности.

Математическое ожидание (сокращенно: м.о.) обозначается через MX (или: М[Х], М{Х), ЕХ, m_X, a_X).

Таким образом, по определению

(2.9)

Если число возможных значений св. X бесконечно (счетно), то

(2.10)

причем ряд в правой части предполагается сходящимся (в противном случае с. в. X не имеет м. о.).

Формулы (2.9) и (2.10) можно записать в виде .

Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно является средним значением с. в. Действительно, т. к. , то

=

Математическим ожиданием н. с. в. X с плотностью вероятности f(x), называется число

. (2.11)

Интеграл в правой части равенства (2.11) предполагается абсолютно сходящимся, т. е.

(в противном случае н.с.в. X не имеет м.о.).

Формула (2.11) является интегральным аналогом формулы (2.9). Заменяя в ней «прыгающий» аргумент x_i на непрерывно меняющий­ся х, вероятность p_i — элементом вероятности f(x)dx (f(x)dx = F'(x)dx = dF(x) ≈ ΔF(x) = F(x + Δx)-F(x) = Р{х < X <x + Δх}), получим равенство (2.11).

Отметим, что MX имеет ту же размерность, что и св. X. Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоян­ной, т. е.

Мс = с.

Постоянную с можно рассматривать как д.св. X, принимающую лишь одно значение с вероятностью 1. Поэтому Мс = с  Р{Х = с} = с • 1 = с.

2. Постоянный множитель выносится за знак м. о., т. е.

М(сХ) = сМХ.

Так как д.с.в. сХ принимает значения сх_i (i = 1,…,n) с вероятно­стями p_i, то

МсХ = .

3. М. о. суммы с. в. равно сумме их м. о., т. е.

М(Х + Y) = MX + MY.

Так как д. с. в. X + Y принимает значения х_i +y_j с вероятностями p_ij = P{X = х_i, Y =y_j}, то

При доказательстве воспользовались, в частности, тем, что

и

Действительно: так как

то

аналогично получаем

Свойство 3 распространяется на произвольное конечное число слагае­мых.

4. М. о. отклонения с. в. от ее м. о. равно нулю, т. е.

М(Х - MX) = 0.

Согласно свойствам 1 и 3, имеем: М(Х-МХ) = МХ-М(МХ) = MX — MX = 0. Отметим, что разность X — MX (или X — тх) назы­вается отклонением с. в. X от ее м. о. MX и обозначается символом :

= X - MX.

Эта с. в. X называется также центрированной с. в.

5. М.о. произведения независимых св. равно произведению их м.о., т. е. если X и Y независимы, то

М(Х  Y) = MX  MY.

Так как с. в. X и Y независимы, то p_ij = Р{Х = x_i,Y = y_j } = Р{Х = x_i }■ Р{Y = y_j } = p_i  p_j Следовательно,

MXY =

Свойства м. о., доказанные для д. с. в., остаются справедливы и для непрерывных с. в. Так, например,

МсХ = .

Пример 2.4. В лотерее имеется 1000 билетов, из них выигрышных: 10 по 500 руб, 50 по 50 руб, 100 по 10 руб, 150 по 1 руб. Найти математи­ческое ожидание выигрыша на один билет.

Ряд распределения с.в. X — суммы выигрыша на один билет таков:

X	500	50	10	1	0
р	0,01	0,05	0,1	0,15	0,69

(Контроль: ) Находим MX:

MX = 500 • 0,01 + 50 • 0,05 + 10 • 0,1 + 1 • 0,15 + 0 • 0,69 = 8,65 руб.

Дисперсия

Дисперсией (рассеянием) с. в. X называется математическое ожи­дание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания.

Обозначается дисперсия через DX (или D[Х], D_X, D(X)). Таким образом, по определению

DX = М(Х - MX)² (2.12)

или DX = MX², или DX = М(Х — m_X)²- Дисперсия характеризует разброс значений с. в. X относительно ее м. о. Из определения диспер­сии следуют формулы для ее вычисления:

DX = — для д. с. в. X, (2.13)

DX = — для н.св. X. (2.14)

На практике дисперсию с. в. удобно находить по формуле

DX = MX² –(MX)². (2.15)

Она получается из формулы (2.12): DX = М(Х²-2ХМХ + (МХ)²) = MX² - М(2ХMX) + М(МХ)² = MX² - 2МХ • MX + (MX)² = MX² - (MX)².

Это позволяет записать формулы для ее вычисления ((2.13) и (2.14)) в другом виде:

DX = (2.16)

DX = (2.17)

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной равна нулю, т. е.

Dc = 0.

Dc = M(c-Mc)² = M(c-c)² = M0 = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возве­дя его в квадрат, т. е.

DcX = c²DX.

DcX = M(cX-M(cX))² = M(cX-cMX)² = M(c²(X-MX)²) = c²M(X - MX)² = c²DX.

3. Дисперсия суммы независимых с. в. равна сумме их дисперсий, т. е. если X и У независимы, то

D(X + Y) = DX + DY.

Используя формулу (2.15), получаем D(X + У) = M(X + У)² -(М(Х+У))² = MX² + 2MXY + MY²-(MX)²-2MXMY-(MY)² = MX² - (MX)² + МУ² - (МY)² + 2(МХУ - MX • MY) = DX + DY + 2(МХ • MY - MX • МУ) = DX + DY.

Отметим, что если с. в. X и У зависимы, то

D(X + У) = DX + DY + 2М((Х - MX) • (У - МУ)).

4. Дисперсия с.в. не изменится, если к этой с.в. прибавить постоян­ную, т. е.

D(X + с) = DX.

D(c + X) = M((с + X) - М(с + X))² = М(Х - MX)² = DX.

5. Если св. X и У независимы, то

D(XY) = MX² ■ MY² - (MX)² • (MY)².

Доказательство свойства 5 не приводим. ■

Свойства дисперсии, доказанные выше для дискретных случайных величин, остаются справедливыми и для непрерывных с.в.

Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия DX имеет размерность квадрата св. X, что в сравни­тельных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса (рассеяния) имела размерность с.в., используют еще одну числовую характеристику — среднее квадратическое отклонение (сокращенно: с. к. о.).

Средним квадратическим отклонением или стандартным откло­нением с. в. X называется квадратный корень из ее дисперсии, обозна­чают через σх (или σХ, σ[Х), σ). Таким образом, по определению

σ_х = . (2.18)

Из свойств дисперсии вытекают соответствующие свойства с. к. о.: σс =0, σ_сХ =|с|σ_х, σ(с + X) = σ_Х

Для изучения свойств случайного явления, независящих от выбо­ра масштаба измерения и положения центра группирования, исходную случайную величину X приводят к некоторому стандартному виду: ее центрируют, т. е. записывают разность X — MX (геометрически озна­чает, что начало координат переносится в точку с абсциссой, равной

м. о.), затем делят на с. к. о. σ_Х.

Случайную величину Z называют стандартной слу­чайной величиной. Ее м. о. равно 0, а дисперсия равна 1. Действительно,

MZ=M( )= M(X-MX)=0,

DZ= D(X-MX)= = 1

То есть Z — центрированная (MZ = 0) и нормированная (DZ = 1) случайная величина.

Пример 2.5. Д.с.в. X задана рядом распределения.

X	-1	0	1	2
р	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти MX, DX, σ_x-

Используем формулы (2.9), (2.13), (2.18): MX = -1 • 0,2 + 0 • 0,1 + 10,3 + 20,4 = 0,9; DX = (-1-0,9)²0,2 + (0-0,9)²0,1 + (1-0,9)²0,3 + (2-0,9)²0,4 = 1,29 (или, используя формулу (2.16), DX = (-1)²0,2+ 0² • 0,1 + 1² • 0,3 + 2² • 0,4 - (0,9)² = 1,29); σ_х = ≈ 1,14.