Визначений інтеграл.

§1. Задачі, що приводять до визначеного інтеграла.

1.1. Обчислення шляху при нерівномірному руху та задача про площу криволінійної трапеції.

Нехай тіло рухається рівномірно зі швидкістю V. Тоді шлях S, який тіло пройшло за проміжок часу від моменту t=t₀ до t=t_* знайдемо за формулою S=Vt, де t=t_*-t₀ - тривалість руху.

Геометрично це буде площа прямокутника:

При рівноприскореному русі V=V₀+at (V₀ -початкова швидкість, a -прискорення) і шлях S=V₀t+

Геометрично це площа трапеції:

Нехай тепер V=V(t) - довільна неперервна функція. Задача про знаходження шляху можна розв`язати так. Проміжок [t₀, t_*] довільно розіб'ємо на n - малих проміжків точками t₀, t₁,…. t_n=t_*

Якщо елементарній проміжок [t_i-1; t_t] малий, то на ньому мало змінюється функція V(t), рух близький до рівномірного, його швидкість V(t) V(τ_i) де τ_i є [t_i-1; t_i].Шлях пройдений за час є . Повний шлях за час t=t_*-t₀ є

В цій сумі кожній доданок є площа прямокутника з основою і висотою V( , а вся сума-площа східчастої фігури, яка складена з таких прямокутників. Приблизно вона дорівнює площі криволінійної трапеції , яка розташована відразу [t₀; t_*] під кривою V=V(t). Точний результат буде, коли всі . Цю границю називають визначеним інтегралом.

Ця формула виражає шлях S при русі із швидкістю V(t), разом з тим визначає площу фігури, розташованою під кривою V=V(t) на відрізку [t₀; t_*].

1.2. Визначення.

Нехай на відрізку [a; b], де a < b задана функція f(x). Довільним засобом розіб’ємо відрізок на проміжки точками x₀=a, x₁, x₂…, x_n=b, так, що x₁< x_x<….. Oзначимо , . χ – ранг дроблення. На кожному проміжку [x_i-1; x_i] довільно вберемо точку ξ_i і знайдемо в ній значення функції f(x), тобто f(ξ_i) і побудемо так звану інтегральну суму

Величина S_n залежить від :

- функції f(x);

- відрізка [a; b];

- способу розбиття відрізку;

- вибору точок ξ_i.

Якщо при нескінченному змільченні розбиття, коли всі інтегральна сума має скінченну границю, котра не залежить ні від засобу дроблення відрізку, ні вибору точок ξ_i, то цю границю називають визначеним інтегралом.

від функції f(x) по відрізку [a; b].

Число а, та b – нижня та верхня межі інтегрування, х- змінна інтегрування.

Зробимо слідуючі висновки:

1. Площа S криволінійної трапеції, обмеженої прямими y=0; x=a; x=b і графіком функції y = f(x) , дорівнює визначеному інтегралу від цієї функціії:

В цьому полягає геометричний зміст визначеного інтегралу.

2. Шляхом S, пройдений точкою за проміжок часу від t=a до t=в, дорівнює визначеному інтегралу від швидкості V(t):

Це фізичний зміст визначеного інтегралу.

Сформулюємо умови інтегровності функції.

Теорема 1. (необхідна умова інтегрованості).

Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку [a; b], то вона обмежена на цьому відрізку.

Теорема 2. (достатня умова).

Якщо функція f(x) перервана на відрізку [a; b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

Теорема 3. Всяка обмежена і монотонна на відрізку функція інтегрована на цьому відрізку.

І ще одна властивість:

Величина визначеного інтеграла не залежить від означення змінної інтегрування: