§4. Концентрация равновесных носителей заряда в невырожденных полупроводниках с одним типом мелких примесных центров и низких температурах.
Для определенности будем рассматривать полупроводник, содержащий мелкие донорные центры одного типа.
З
а
счет теплового возбуждения образуются
электроны в зоне проводимости и дырки
в валентной зоне. Из зонной диаграммы
видно, что электроны образуются за счет
переходов 1 и 2, а дырки только за счет
переходов 1. В таком полупроводнике
очевидно концентрация электронов будет
больше, чем концентрация дырок. Найдем
выражение для концентрации электронов
в таком полупроводнике, используя закон
действующих масс для носителей заряда
и уравнение электронейтральности.
1. Закон действующих масс.
Рассмотрим произведение концентраций носителей заряда, воспользовавшись общими соотношениями:
(1)
Соотношение
(1) это закон действующих масс для
носителей заряда в полупроводнике.
Заметим, что для данного полупроводника
при данной температуре величина
.
Из (1) следует что, если концентрация
электронов увеличивается, то концентрация
дырок должна уменьшаться, если
,
то полупроводник будет обладать
монополярной электронной проводимостью
или проводимостью
- типа.
С ростом концентрации электронов, увеличивается вероятность встречи зонных электронов с дырками и, следовательно, дырки чаще гибнут в результате рекомбинации, чем в случае малых значений концентрации электронов, хотя во всех случаях число переходов 1 остается одинаковым.
2. Уравнение электронейтральности.
Уравнение
электронейтральности основывается на
том, что в любом физически малом объеме
полупроводника суммарный заряд всех
заряженных частиц должен быть равен
нулю. В полупроводнике донорного типа
отрицательный заряд обеспечивается
электронами зоны проводимости, а
положительный дырками и положительно
заряженными донорами. Будем обозначать
концентрацию положительных доноров
через
,
тогда уравнение электронейтральности
для полупроводника
- типа будет иметь вид:
(2)
;
(3)
Функция Ферми-Дирака определяет собой распределение зонных равновесных носителей заряда. Эта функция не применима для носителей заряда находящихся на примесных центрах. Для зонных носителей заряда справедлив принцип Паули: на каждом уровне может находиться два носителя заряда с разными спинами. Сильное кулоновское отталкивание приводит к тому, что принцип Паули неприменим для таких носителей заряда. Вероятность заполнения примесных состояний электронами и дырками определяется следующими соотношениями:
-
вероятность заполнения электроном
донорного уровня с энергией
(незаряженный донор).
-
вероятность заполнения дыркой акцепторного
уровня с энергией
(незаряженный акцептор).
-
вероятность заполнения дыркой донорного
уровня с энергией
,
отсюда следует, что донорный уровень
положительно заряжен.
-
вероятность заполнения электронами
уровня
.
При
очень низких температурах число тепловых
переходов 1 очень мало, поэтому в уравнении
(3)
и величиной
можно пренебречь, тогда уравнение
электронейтральности примет вид:
(4)
(4) можно записать:
,
(4')
,
,
,
.
При
низких температурах величина
и тогда:
,
(5)
И
з
(5) следует, что при T
= 0 уровень химического потенциала в
монополярном полупроводнике
- типа лежит посредине между дном зоны
проводимости о донорным уровнем
.
С ростом температуры химический потенциал
поднимается вверх к уровню
,
затем опускается вниз пересекая уровень
.
Тогда
концентрация электронов в зоне
проводимости определяется из выражения:
и с подстановкой в него (5), учитывая, что
,
получим:
(6)
Таким образом, концентрация электронов в таком полупроводнике экспоненциально возрастает с ростом температуры.
Найдем степень ионизации мелких доноров в тех условиях когда, уровень химического потенциала пересекает уровень :
(7)
Подставим (7) в (6) и получим, что:
Значит, когда уровень химического потенциала пересекает уровень , доноры истощены на половину, т.е. на половину ионизированы. Аналогично можно получить выражение для концентрации дырок в полупроводнике, содержащим только мелкие акцепторные центры:
(8)