6. Математическое моделирование

Под математическим моделированием понимают способ исследования процессов, имеющих различное физическое содержание, но описываемых одникаковыми математическими соотношениями. Любому реальному объекту ставится в соответствие некоторый математический объект, называемый моделью, исследование которого математическими методами позволяет получить полезные рекомендации относительно рассматриеваемого реального объекта. Математические соотношения более удобны для проведения аналитических или численных исследиваний, а полученные результаты можно распостранить на все объекты, имеющие различные физичские содержания. В настоящее время математические модели используются очень широко в разных областях: ТАУ, статистике, медицине, геологии, метеорологии и др.

Достоинства математических моделей:

а) возможность быстро провести ряд экспериментов на математической модели с целью поиска оптимального технологического режима или максимально достоверного прогноза при минимальных затратах времени и материальных ресурсов.

б) возможность на модели задать условия эксплуатации, невозможные в реальности, для проверки оптимальных режимов.

в) математическая модель по разработанным методикам позволяет быстро найти оптимальные условия ведения технологического процесса.

Виды матматических моделей. Вид математической модели зависет не только от природы реального объекта, но и от тех задач, ради решения который эта модель создается. Любая модель описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Поэтому важное место при построении модели занимет обеспечение требуемой точности воспроизвения реального процесса.

По характеру сигналов и параметров модели можно подразделить на детерминистические и вероятностные (стохастические). Выбор детерминической или стохастической модели остается за исследовательом поскольку зависит от необходимости учета случайных факторов.

По характеру проводимых исследований существуют аналитические, экспериментальные и комбинированные методы получения математического описания объектов управления.

В аналитических моделях процессы функционирования элементов сложных систем записываются в виде некоторых функциональных соотношений или логических условий.

Аналитические методы базируются на использовании уравнений описывающих физико-химические и энергетические процессы, протекающие в исследуемом объекте управления. Это, например, законы сохранения вещества и энергии (уравнения материального баланса). В настоящее время для многих классов объектов управления получены их математические модели - в частности, для аэрокосмических объектов (ракет, самолетов, вертолетов), для технологических объектов (химические реакторы), для энергетических процессов (ядерные реакторы, паровые турбины, генераторы, двигатели). При получении таких описаний обычно оперируют с дифференциальными уравнениями в частных производных, т.к. переменные изменяются как во времени, так и в пространстве.

Экспериментальные методы предполагают проведение серии экспериментов на реальном объекте управления. Обработав результаты экспериментов, оценивают параметры динамической модели объекта, задавшись предварительно ее структурой.

Наиболее эффективными оказываются комбинированные методы построения математической модели объекта, когда, используя аналитически полученную структуру объекта, ее параметры определяют в ходе натурных экспериментов.