§1.9. Элементы комбинаторики.

При подсчете вероятности по классическому определению приходится пересчитывать число исходов опыта, т. е. число различных вариантов.

Это гораздо легче сделать, если использовать готовые формулы, полученные в специальном разделе математики, который называется комбинаторикой.

Комбинаторика – это наука о комбинациях из однородных элементов, в частности, из чисел. Рассмотрим некоторые из них.

1. Основное правило комбинаторики (правило умножения).

Пусть некоторое действие можно выполнить в два этапа.

На первом из них есть k вариантов выбора, на втором - l вариантов.

При этом любой выбор на первом этапе сочетается

с любым выбором на втором этапе.

Тогда общее число способов выполнить действие равно:

( К1) )

Для запоминания: схема дорог.

Из пункта A в пункт B ведет k дорог. Из B в C ведет l дорог.

Сколько всего разных путей из A в C ?

.

Пусть выбран путь №1 из A в B . У него есть l продолжений - путей из B в C . Это все разные пути. Уже l вариантов. Если из A в B выбираем путь №2, у него тоже l продолжений. Еще l вариантов. И так далее. Таким образом, получаем:

Этот прием позволяет решать очень многие задачи, связанные с пересчетом вариантов.

Пример 1: Бросают 4 кубика. Найдем общее число исходов.

Д

ля одного кубика число исходов равно 6. Любой исход на первом кубике может сочетаться с любым исходом на втором, третьем, четвертом.

Пример 2: Записывают пятизначное число, в котором все цифры разные. Сколько способов это сделать (сколько таких чисел) ?

Записываем первую цифру. У нас 9 вариантов выбора (любая цифра, кроме 0 ). Когда записываем вторую, одна цифра уже израсходована, но зато добавляется 0 - имеем 9 варантов выбора. Когда записываем третью, осталоь 8 варантов (две цифры уже израсходованы). И так далее. Всего получаем:

Пример 3: Кодовый замок сейфа состоит из 5 дисков по 12 символов

на каждом. Сколько всего вариантов набора кода?

Когда выбираем какой то символ на первом диске, у нас 12 вариантов. На втором тоже 12 и любой символ на первом диске может сочетаться с любым символом на втором. И т.д.

Пример 4: Есть семь карточек с номерами 1, 2 , 3, .......7. Из них достают 4 выкладывают из них число. Сколько существует способов получить четное число?

Чтобы число было четным, на последнюю позицию нужно положить одну из цифр 2, 4, 6 – имеем 3 варианта.

После того, как последняя позиция заполнена, выбираем карточку на предпоследнюю позицию – 6 вариантов. На третью справа – 5 вариантов, на первую позицию – 4 варианта.

Если после заполнения последней позиции начать выкладывать карточки слева направо, число вариантов не изменится:

Вообще, процесс заполнения можно проводить в любой последовательности и от этого общее число вариантов не изменится.

2. Перестановки.

Имеется множество из k различных элементов.

Его упорядочивают, располагают элементы в определенном порядке. Каждое такое упорядоченное множество называется

перестановкой из k элементов.

Удобна для запоминания следующая схема:

Число называется факториал.

Это произведение всех чисел от 1 до k (или наоборот, от k до 1).

3! = 3  2  1 = 6 ; 5! = 5 4  3  2  1 = 120 ;

Замечание:

Ф ормула получается очень просто, по тому же принципу, который применялся выше. Сначала отбираем один элемент, чтобы положить его на первую позицию. Для этого у нас k вариантов. Когда отбираем претендента на вторую позицию, один элемент уже израсходован, и число вариантов равно (k–1). Так как число позиций равно числу элементов, когда доберемся до последней позиции, на нее останется ровно 1 претендент:

3. Размещения и сочетания.

Имеется множество из k различных элементов.

Из него отбирают часть, подмножество из l элементов.

Если порядок отбора элементов безразличен, то получают

сочетание из k элементов по l .

Если порядок отбора элементов важен

(отобранные элементы упорядочивают) то получают

размещение из k элементов по l .

С хемы для запоминания:

Формула для числа размещений:

К огда отбираем первый элементу нас k вариантов. Для второго (k–1) вариант. На последнюю позицию № l остается (k – (l+1)) претендент.

Е сли продолжать умножение дальше, до 1, получим факториал. Не хватает сомножителей (k-l) . . . 321 . Домножим и разделим на эти недостающие сомножители, получим факториалы, входящие в формулу (К3) .

Формула для числа сочетаний:

Пример 5: Сколько чисел можно соcтавить из цифр 1, 3, 5, 9 ?

Е

сли эти 4 цифры переставлять местами, мы будем получать разные числа. Т.е., таких чисел столько, сколько перестановок из 4 элементов.

Пример 6: В фирме 5 сотрудников. Необходимо одновременно выехать в командировку в 5 разных городов. Сколько разных способов распределить места командировок ?

Пять элементов (сотрудников) нужно распределить по пяти местам (городам). Это – перестановка из 5 элементов:

П ример 7: Цифры 3, 4, 5, 6, 7, 8 раскладываются в произвольном порядке друг за другом. Сколько существует вариантов, при которых четные цифры стоят на четных местах?

Выполним действие в два этапа.

Первый. Сначала возьмем четные цифры 4, 6, 8 и положим их на четные места. Таких мест 3.

Если 3 элемента менять местами, это перестановка. Число вариантов

Второй. теперь разложим по оставшимся 3 местам нечетные цифры 3, 5, 7. Это опять перестановка из трех элементов:

Любой выбор на первом этапе сочетается с любым выбором на втором (схема дорог). Т.е., по основному правилу комбинаторики

Пример 8: Имеется 7 цифр: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Сколько четырехзначных чтсле можнл из них сосотавить?

Чтобы записать такое число нужно из этих 7 цифр отобрать часть ( 4 цифры ) и расположить по порядку. Т.е., любое такое число – это размещение из 7 элементов по 4.

Пример 9: В фирме работают 5 сотрудников. Для выполнения трех различных работ нужно отобрать трех исполнителей. Сколько разных способов это сделать?

Из 5 элементов (сотрудников) нужно отобрать часть – троих. Порядок отбора важен (разным людям поручаются разные работы). Это размещения из 5 по 3.

Пример 10: За 8 дней студент должен сдать 5 зачетов (можно сдавать только по одному зачету в день). Сколько разных способов составить расписание?

Из 8 элементов (дней) нужно отобрать часть – те 5 дней, в которые будут проводиться зачеты. Порядок сдачи зачетов важен (предметы разные). Это размещения из 8 по 5.

Пример 11: Предприятие собирается вложить деньги на вклады в разные банки суммами 250 и 500 тыс. грн. Для этого нужно выбрать два банка из 8. Сколько разных способов это сделать?

Из 8 элементов (банков) нужно отобрать часть – 2. Кроме того, среди этих двух выбрать, в какой сколько вкладывать (порядок отбора различается). Это размещения из 8 по 2.

Пример 12: Для выполнения срочной работы нужно отобрать 3 сотрудников из 9 работающих. Сколько разных способов это сделать?

Из 9 элементов (сотрудников) нужно отобрать часть – 3. Порядок отбора безразличен (они все трое будут выполнять одну работу) Это сочетание из 9 по 3.

Пример 13: Из коробки с цветными шарами ( 7 красных и 12 черных) отбирают 5 шаров. Сколько способов отобрать 2 красных и 3 черных?

Выполним действие в два этапа.

Первый. Отбираем 2 красных. Из 7 элементов (шаров) нужно отобрать часть – 2. Порядок отбора безразличен (важен только цвет). Это сочетание из 7 по 2.

Второй этан. Отбираем 3 черных. Из 12 шаров нужно отобрать 3. (порядок отбора безразличен). Это сочетание из 12 по 3.

Любой выбор 2 красных шаров сочетается с любым выбором 3 черных. Т.е., по основному правилу комбинаторики

Пример 14: Из 10 человек, пришедших сдавать экзамен, отбирают пятерых и рассаживают в первом ряду. Сколько существует вариантов, при которых двое друзей (А и Б) будут сидеть рядом?

Перебор вариантов выполним поэтапно.

П ервый этап. Отбираем те 2 места, на которых будут сидеть рядом А и Б. Например:

.

Для этого у нас есть 4 варианта.

В торой этап. У нас есть 2 варианта выбора того, как именно посадить этих двоих:

Третий этап. После того, как посадили этих двоих, нужно рассадить на 3 оставшихся места еще 3 человека из 8 оставшихся. Из 8 элементов отбираем 3 и порядок отбора важен (разные способы рассадки). Это размещение из 8 по 3.

По основному правилу комбинаторики