§1.8. Расчет надежности сложных систем

В качестве примера практического применения изложенных выше правил сложения и умножения вероятностей, рассмотрим задачи, связанные с расчетом надежности систем.

Всякая сложная система может вследствие ряда случайных причин выйти из строя, потерять работоспособность. Созданное предприятие может оказаться банкротом, намеченная коммерческая сделка может не состояться, выданный банком кредит не удастся вернуть и т.д.

О19 : Надежностью системы ( элемента, устройства ) называют

Вероятность ее безотказной работы в течение заданного времени.

Конечно, вероятность того, что система проработает безотказно один год несколько меньше, чем вероятность того, что она проработает один час, т.е., эта вероятность зависит от времени, уменьшается с течением времени.

Эту зависимость надежности от времени мы рассмотрим позже, когда будем изучать тему функция надежности.

Здесь, в этом параграфе, мы будем рассматривать системы, составленные из отдельных элементов. Предполагая известными надежности составляющих, научимся определять надежность системы в целом. Поскольку и система в целом, и отдельные ее элементы работают в одном и том же промежутке времени, здесь мы не будем уточнять, о каком именно времени идет речь.

Задача №1.

Система состоит из 2-х элементов, работающих независимо.

Вероятность безотказной работы 1-го элемента в течение определенного времени равна 0,8;

Для второго элемента вероятность безотказной работы равна 0,9.

Для того, чтобы работала система, необходимо, чтобы работали оба элемента.

Найти вероятность безотказной работы системы.

Ситуацию, когда должны работать оба элемента, принято схематически изображать последовательным соединением.

Такое обозначение появились в технических дисциплинах, но нашло применение и в экономических, и в социальных, и в других приложениях.

Например: Ведутся переговоры о заключении коммерческого договора. Вероятность того, что одна из сторон согласится его подписать, равна 0,8. Вероятность того, что вторая сторона согласится подписать договор, равна 0,9. Какова вероятность того, что договор будет подписан?

Или: В аудитории читается лекция. Вероятность того, что студенты явятся на лекцию, равна 0,8. Вероятность того, что придет преподаватель, равна 0,9. Какова вероятность того, что лекция состоится?

Перейдем к решению сформулированной задачи.

Опишем события, вероятности которых нам известны.

Событие А₁ – безотказная работа первого элемента; Р(А₁) = 0,8.

Событие А₂ – безотказная работа второго элемента; Р(А₂) = 0,9.

Событие А – безотказная работа системы. Р(А) = ?.

Сначала, как обычно, решим задачу в событиях, запишем интересующее нас событие А как комбинацию заданных событий А₁ и А₂ .

Должны работать оба элемента вместе, т.е., это произведение событий.

А = А₁ ∙ А₂

Переходим к вероятностям. Поскольку подсчитываем вероятность произведения, проверяем зависимость событий. События независимы: вероятность работы второго элемента равна 0,9 и никак не меняется в зависимости от того, работает или отказывает первый элемент (и наоборот).

Р( А ) = Р( А₁ ∙ А₂ ) ={независимые} = Р( А₁ ) ∙ Р( А₂ ) = 0,8 ∙ 0,9 = 0.72.

Задача №2.

Система состоит из тех же 2-х элементов, работающих независимо.

Надежность первого элемента равна 0,8; второго –0,9.

Для того, чтобы работала система, необходимо, чтобы работал хотя бы один элемент.

Найти вероятность безотказной работы системы.

Ситуацию, когда должен работать хотя бы один элемент, принято схематически изображать параллельным соединением.

Например: Некоторая ответственная работа (поиск возможных торговых партнеров) обязательно должна быть выполнена. Поэтому выполнение этой работы поручается одновременно двум сотрудникам. Вероятность того, что первый успешно справится с заданием в поставленный срок, равна 0,8; второй – 0,9. Если один из них не справится с работой или заболеет, его подстрахует второй.

Решение задачи. Описываем известные события.

Событие А₁ – безотказная работа первого элемента; Р(А₁) = 0,8.

Событие А₂ – безотказная работа второго элемента; Р(А₂) = 0,9.

Событие А – безотказная работа системы. Р(А) = ?.

Решение в событиях:

Должен работать хотя бы один элемент, т.е., это сумма событий.

А = А₁ + А₂

Переходим к вероятностям. Для суммы проверяем совместность. Элементы могут работать оба вместе, т.е. события совместны.

Р( А ) = Р( А₁ + А₂ ) ={совместны} = Р( А₁ ) + Р( А₂ ) – Р( А₁ ) ∙ Р( А₂ ) =

= 0,8 + 0,9 – 0,8 ∙ 0,9 = 0,98.