§1.7. Примеры применения теорем о вероятности суммы и произведения событий

Полученные выше формулы для вероятности суммы и произведения позволяют вычислять вероятности сложных событий путем сведения их к комбинации более простых.

Все задачи такого рода решаются по следующей схеме:

1. Сначала обозначаем и описываем события, вероятности которых уже известны или легко подсчитываются по классическому определению.

2. Обозначаем и описываем события, вероятности которых нас интересуют.

3. Событие, которое нас интересует, представляем как комбинацию тех событий, вероятности которых уже известны. Используем только две рассмотренных операции над событиями: сумму и произведение.

4. Используем приведенные выше формулы для подсчета вероятности. При этом для суммы каждый раз проверяем слагаемые на совместность, а для произведения на зависимость.

Пример 1 :

Производится 2 выстрела в цель.

Вероятность попадания в первом выстреле равна 0,8; во втором 0,9.

Какова вероятность того, что:

1. Будет получено два попадания.

2. Будет получено одно попадание.

3. Не будет ни одного попадания.

4. Цель будет поражена.

Есть два события, вероятности которых известны.

А ₁ – попадание в первом выстреле. Р(А ₁) = 0,8 .

А ₂ – попадание во втором выстреле. Р(А ₂) = 0,9.

Кроме того, автоматически нам известны вероятности противоположных событий:

А ₁ – промах в первом выстреле. Р(А ₁) = 0,2 .

А ₂ – промах во втором выстреле. Р(А ₂) = 0,1.

1. С обытие B ₁ – два попадания.

Сначала решаем задачу в событиях: два попадания – это появление обоих событий вместе, т.е. произведение:

B ₁ = А ₁  А ₂

Т еперь можно перейти к вероятностям. Нужно подсчитывать вероятность произведения событий. Для этого проверяем их на зависимость – независимость. Вероятность второго события равна 0,8. Она никак не изменится в зависимости от того, будет получено попадание в первом выстреле или нет. Т.е., события независимы. Используем соответствующую формулу для подсчета вероятности.

P (B ₁) = P (А ₁А ₂) = { независимы } = P (А ₁)P (А ₂) = 0,80,9 = 0,72.

2. Событие B ₂ – одно попадание.

Если получено только одно попадание, то в другом выстреле должен быть промах. Например, в первом выстреле попадание, во втором промах:

И ли наоборот, в первом выстреле промах, во втором попадание:

Нас устраивает любой из этих вариантов, хотя бы один из них (т.е. сумма).

B ₂ = А ₁А ₂ + А ₁А ₂

Т еперь переходим к вероятностям. Нужно подсчитывать вероятность суммы. Для этого проверяем их на совместность – несовместность. В первом варианте выстрел №1 закончился попаданием, во втором варианте он же окончился промахом. В одном и том же опыте это невозможно – варианты (слагаемые) несовместны. Выбираем соответствующую формулу для вероятности

3. Событие B ₃ – ни одного попадания (два промаха).

4. С

   B ₄ = А ₁ + А ₂

   обытие B ₄ – цель поражена (для этого необходимо хотя бы одно попадание).

Пример 2 :

Заполняются три финансовых документа. Информационно они не связаны между собой. Вероятность ошибки при заполнении первого из них равна 0,1; второго – 0,05; третьего – 0,15.

Найти вероятность того, что:

1. в каждом будет ошибка

2. весь пакет не будет содержать ошибок;

3. ошибка будет только в одном; .

4. допущена хотя бы одна ошибка в пакете.

5. будет допущено не более одной ошибки.

Описываем события:

А ₁ – ошибка в первом документе. Р(А ₁) = 0,1. Р(А ₁) = 0,9.

А ₂ – ошибка во втором документе. Р(А ₂) = 0,05. Р(А ₁) = 0,95.

А ₃ – ошибка в третьем документе. Р(А ₃) = 0,15. Р(А ₁) = 0,85.

1. С обытие B ₁ – в каждом документе ошибка (во всех трех).

B ₁ = А ₁  А ₂ А ₃

Сомножители независимы. Документы информационно не связаны и ошибка в одном из них не повлияет на данные, которые присутствуют во втором, а значит и на вероятность ошибки во втором документе. Если бы информация, приведенная в первом документе, использовалась бы при расчетах во втором, то ошибка в первом повлекла бы за собой цепочку дальнейших ошибок, и тогда бы вероятность ошибки во втором и третьем резко возросла, появилась бы зависимость между событиями.

P (B ₁) = P (А ₁А ₂А ₃) = { независимы } = P (А ₁)P (А ₂)P (А ₃) =

= 0,10,05 0,15 = 0,00075.

2. С обытие B ₂ – весь пакет не содержит ошибок (во всех трех их нет).

B ₂ = А ₁  А ₂ А ₃

3. С

   P (B ₃) = P (А ₁ А ₂А ₃+ А ₁А ₂А ₃ + А ₁А ₂А ₃) =

   = { слагаемые несовместны, сомножители независимы } =

   = 0,10,950,85 + 0,90,050,85 + 0,90,950,15 = 0,24725.

   обытие B ₃ – ошибка только в одном (в остальных нет).

B ₃ = А ₁ А ₂А ₃+ А ₁А ₂А ₃ + А ₁А ₂А ₃

4. С

   B ₄ = А ₁ + А ₂+ А ₃

   обытие B ₄ – хотя бы одна ошибка во всем пакете.

5. Событие B ₅ – не более одной ошибки во всем пакете (или одна, или ни одной).

Пример 3 :

Имеем две коробки с цветными шарами. Из каждой из них достаем по одному шару.

Какова вероятность того, что они окажутся разного цвета?

Вводим события:

А – появление красного шара из коробки №1. А – синего;

B – появление красного шара из коробки №2. B – зеленого;

Р(А) = 5 / 13; Р(А) = 8 / 13; Р(B) = 3 / 8; Р(B) = 5 / 8.

C – шары разного цвета.

Нас устраивают варианты:

Пример 4 :

Из 20 изделий, отправленных предприятием в магазин, 7 имеют дефект. Какова вероятность того, что из четырех первых изделий, отобранных для продажи, окажется хотя бы одно дефектное ?

Вводим события:

А ₁ – первое из отобранных изделий дефектное;

А ₂ – второе из отобранных изделий дефектное;

А ₃ – третье из отобранных изделий дефектное;

А ₄ – четвертое из отобранных изделий дефектное;

B – хотя бы одно из отобранных – дефектное.

B = А ₁ + А ₂+ А ₃+ А ₄

События совместны, дефектными могут оказаться два и более изделий одновременно. При подсчете вероятности суммы нужно переходить к противоположному событию.

Кроме того, события зависимы. Если первое изделие окажется дефектным, то среди оставшихся 19 изделий дефектных будет только 4, если же первое отобранное качественное, то дефектных останется 5. Вероятность события А ₂ меняется.