Итак, зависимость или независимость событий связана с тем,

меняется или не меняется вероятность одного из них

при появлении или не появлении другого.

Чтобы узнать, зависимы события или нет, нужно:

1. Определить вероятность события в при условии, что событие а

появилось;

2. Определить вероятность события в при условии, что событие а

не появилось;

3. Сравнить эти два числа, одинаковы они или различны.

Пример 2 :

Опыт – бросание двух кубиков.

События: А – выпадение шестерки на первом кубике;

B – выпадение суммы, большей чем 10.

Проверить, зависимы они или нет.

Элементарным исходом такого опыта является пара чисел:

_i =( число; число);

На первом кубике 6 вариантов, на втором тоже. Общее число исходов:

n = 6 ∙ 6 =36.

Подсчитаем и сравним вероятность события B в трех вариантах:

1. При условии, что событие а уже произошло;

2. При условии, что а не произошло.

3. Без всяких условий.

1. Пусть А уже произошло. Это значит, что реализовался какой то из исходов: ₁ =( 6; 1); ₂ =( 6; 2); ₃ =( 6; 3);

₄ =( 6; 4); ₅ =( 6; 5); ₆ =( 6; 6);

Т.е., теперь возможное число исходов для события B равно 6.

Из них сумму больше 10 дают два исхода: ₅ и ₆ . Число благоприятствующих исходов равно 2.

Вероятность:

2. Пусть А не произошло. Это значит, что на первом кубике выпала любая из цифр, кроме 6 (5 вариантов) а на втором – что угодно (6 вариантов).

Возможное число исходов для события B равно 30.

Из них сумму больше 10 дает один исход: ( 5; 6) . Число благоприятствующих исходов равно 1.

Вероятность:

3. Вероятность B без всяких условий:

Общее число возможных исходов 36.

Благоприятствующих три: ( 5; 6); ( 6; 5) и ( 6; 6).

Вероятность:

Все три числа отличаются друг от друга. События зависимы

Пример 3:

Два события А и B несовместны.

Проверить, зависимы они или нет.

У случайного события B есть некоторая вероятность P(B) ≠ 0.

Если же событие А уже произошло, то событие B в том же опыте произойти уже не может, они несовместны. Это значит, что P_A(B) = 0.

Итак, появление события А изменяет вероятность события B:

Вывод: несовместные события зависимы

Теперь перейдем к вероятности произведения событий

Г еометрически это отношение площади области ab к площади квадрата

Умножим и разделим это отношение на площадь области A.

Первый сомножитель – это вероятность события A. Второй – это условная вероятность события B при условии, что A произошло.

Таким образом, получаем обоснование формулы для вероятности произведения событий:

Если события независимы, тогда нет необходимости указывать, что одно из событий уже произошло:. .

Пример 4:

В ернемся к задаче, рассмотренной

в начале параграфа. Определим вероятность того, что оба шара окажутся черными.

Обозначаем события: А – первый шар окажется черным;

В – второй шар окажется черным.

С – оба шара окажутся черными

Появление обоих событий вместе – это произведение событий:

С = А · В

Р (С) = Р(А · В) = {события зависимы} = Р(А) · Р_А(В) =

Эту задачу можно решить и с использованием классического определения, но только приходится использовать формулы комбинаторики. Когда из общего количества в 20 элементов извлекается 2 элемента – это сочетание из 20 по 2.

.

Пример 5:

Банк выдает кредит трем фирмам. Вероятность своевременного возврата кредита: для первой фирмы 0,95; для второй – 0,98; для третьей – 0,9.

Найти вероятность того, что все кредиты будут вовремя возвращены.

Замечание: Фирмы не связаны между собой производственными и финансовыми отношениями.

Описываем события:

А ₁ – первая фирма возвратит кредит своевременно

А ₁ – вторая фирма возвратит кредит своевременно

А ₁ – третья фирма возвратит кредит своевременно

B B – все три кредита вернут вовремя.

Решение:

Появление всех трех событий – это произведение

B = А₁ · А₂ · А₃

Нужно подсчитывать вероятность произведения. Для этого нужно сначала выяснить, зависимы события или нет.

По условию, фирмы не связаны между собой, и значит, коммерческий успех или неуспех одной из них не влияет на хозяйственную деятельность другой. Вероятность того, что одна из фирм вернет или не вернет вовремя кредит, не зависит от действий другой фирмы. События независимы.

Следовательно:

P(B) = P( А₁ · А₂ · А₃ ) = {события независимы} =

= P(А₁) · P(А₂) · P(А₃) = 0,95 · 0,98 · 0,9 = 0,8379 .

Обратите внимание: чем больше выдается кредитов, тем меньше вероятность того, что все они будут возвращены своевременно.

Второй момент: Если фирмы, которым выдается кредит, связаны между собой коммерческой деятельностью, то неудачные действия одной из них могут неблагоприятно отозваться на деятельности других, и вероятность несвоевременного возврата кредита у них возрастет. Таким образом, события в этом случае могут оказаться зависимыми, и интересующая нас в этой задача вероятность может резко уменьшиться.