Продумайте, почему так, учитывая, что сумма и произведение – это операции над исходами.

§1.5. Вероятность суммы двух событий

В теории вероятностей раздел, к которому мы сейчас приступаем, часто называют «Теоремы сложения и умножения вероятностей».

В математике теорема – это факт, который необходимо доказывать. Действительно, если классическое определение вероятности применимо к данному опыту, то формулы, которые мы здесь и далее запишем, можно доказать. Если же классическое определение вероятности применить нельзя, то поступают следующим образом.

Считают, что вероятность случайного события существует, и что она должна удовлетворять ряду свойств, которые в этом случае принимаются как аксиомы. (Это так называемый аксиоматический подход к вероятности).

Мы здесь доказывать формулы, которым подчиняется вероятность, не будем, а будем только пытаться обосновывать их смысл: почему они выглядят именно так, а не иначе. В этом нам очень поможет геометрическое представление событий и их вероятностей.

1. Н есовместные события:

В ероятность – это площадь.

Сумма событий – все исходы, принадлежащие А и B.

Вероятность суммы – общая площадь. Сейчас она равна сумме площадей каждого из этих кругов в отдельности:

2. С овместные события:

В этом случае общая площадь равна:

Вероятность суммы:

Итак, вывод: прежде чем подсчитывать вероятность суммы событий нужно сначала выяснить, совместны они или нет.

§1.6. Вероятность произведения событий.

Зависимые и независимые события.

Условные вероятности

Сначала рассмотрим пример:

В коробке лежат цветные шары:

Достаем из нее один за другим 2 шара (не возвращая).

Найти вероятность того, что первый шар красный.

Найти вероятность того, что второй шар красный.

Обозначим эти события: А – первый шар окажется красным;

В – второй шар окажется красным.

Подсчитаем вероятности по классическому определению:

Для события А все очень просто: n = 20; m _А = 7 

Для события B : n = 19 (в коробке стало на 1 шар меньше);

А вот чему равно m ? Сколько сейчас в коробке красных шаров?

Все зависит теперь от того, каким был первый шар.

Если первый шар оказался красным, т.Е.,

если событие А произошло, то m _B = 6.

Е сли ;же первый шар оказался белым, т.Е.,

если событие А не произошло, то m _B = 7

О11 : Вероятность события B, найденная при условии, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью события В..

Обозначение: pa ( b ), p ( b|a ) в рассмотренном примере: ;

В рассмотренном примере вероятность события В меняется в зависимости от того, каким оказался первый шар, от того, произошло событие А или нет. Событие В зависимо от события А.

Если доставать оба шара одновременно, то они становятся взаимозависимыми, вероятность того, что один из них красный, зависит от того, каким оказывается другой.

Если первый шар возвращать назад в коробку, прежде чем доставать второй, то события становятся независимыми.