§1.3. Классическое определение вероятности
Классическое определение называется так потому, что было создано основоположниками теории вероятности в самый момент зарождения ее как математической науки.
Оно позволяет во многих случаях определять вероятности событий, не проводя опыты, до опыта, основываясь только на теоретических рассуждениях.
Классическое определение применимо только в тех случаях, когда все результаты опыта можно представить как элементарные и равновозможные.
Исход
опыта называется
элементарным,
если его нельзя
разложить на более простые составляющие;
Равновозможность
оценивается
из условия симметрии.
Для того, что уточнить эти два понятия, рассмотрим пример:
Опыт: бросание кубика:
Можно по-разному перечислять исходы такого опыта.
1 Способ 2 способ 3 способ
выпадает 6 “четное число” выпадает 1
выпадает не 6 “нечетное число” выпадает 2
выпадает 3
Не элементарные
и
не равновозможные
равновозможные,
но не элементарные
не
выпадает 5
выпадает 6
элементарные и
равновозможные
1 способ:
Исход «выпадает не 6» не элементарный, его можно разложить на совокупность более простых: «выпадает 1» или 2, или 3, 4, 5.
Кроме того, они и не равновозможны: на кубике только одна грань с цифрой 6 и пять граней с не шестеркой.
2 способ:
Исходы не элементарные (оба), но равновозможные: на кубике три грани с нечетным числом очков и три с четным.
3 способ: Исходы и элементарны и равновозможны. Число таких исходов равно 6.
При подсчете вероятности по классическому определению как раз и нужно не проводя опыт представить себе все возможные его исходы и пересчитать их количество. При этом исходы нужно формулировать так, чтобы они были элементарными и равновозможными. Не всегда это возможно, но во многих случаях классическое определение прекрасно работает.
Кроме того, те свойства вероятности, которые можно проанализировать с помощью классического определения, переносятся затем и на те случаи, когда классическое определение применить нельзя. Многие идеи, полученные с его помощью, плодотворно переносятся на остальные разделы теории вероятностей.
Пример1: Найти вероятность появления герба при бросании монеты.
Задачи на подсчет вероятности по классическому определению удобно решать и оформлять следующим образом.
Сначала описываем опыт, который проводится и, исходя из этого, пересчитываем число исходов такого опыта:
Опыт: бросание одной монеты.
У этого опыта два возможных исхода: выпадение герба или решки.
Удобно записывать эти элементарные исходы следующим образом:
1
=(герб)
2 =(решка)
Итак, n = 2
После этого описываем событие и пересчитываем число благоприят-
ствующих исходов.
Событие A: появление герба.
Этому событию благоприятствует только один исход: 1 . Т.е., m = 1.
В
ероятность:
Пример 2: Найти вероятность выпадения четного числа очков при
бросании кубика.
Опыт – бросание кубика; n = 6
Событие А – выпадение четного числа очков m = 3;
В
ероятность:
Пример 3: Найти вероятность выпадения хотя бы одного герба при бросании двух монет.
Опыт – бросание двух монет.
Исходы: 1 =( герб, герб); 2 =( герб; решка);
3 =( решка, герб); 4 =( решка; решка). n = 4
Событие А – выпадение хотя бы одного герба m = 3;
В
ероятность:
Пример 4: Найти вероятность того, что при бросании двух кубиков сумма очков окажется не более 3.
Опыт – бросание двух кубиков.