36

Раздел I. Теория случайных событий

§ 1.1. Случайные события. Понятие вероятности

Определение 1 (О1 ) Стохастическим экспериментом ( опытом ) назовем эксперимент со случайным исходом.

Примеры:

1. подбрасывание монеты;

2. доставание карты из колоды;

3. продвижение нового товара на рынок;

4. открытие новой фирмы;

5. заключение страхового договора.

О2 : Случайное событие ( а ) – это событие, которое может как произойти, так и не произойти в результате опыта.

Обозначают случайные события большими буквами из начала латинского алфавита: А, B, C и т.д.

Примеры случайных событий: (соответствующие приведенным выше)

1. выпадение герба;

2. появление дамы пик;

3. устойчивый рост спроса на товар;

4. фирма успешно проработает в течение 5 лет;

5. наступление страхового события.

Замечание: Тот факт, что данное событие случайно, обнаружить можно только при многократном проведении опытов. Если в некоторых опытах событие появляется, а в некоторых нет – оно случайно. Если с данным событием мы никогда ранее не сталкивались (опыты не проводились), то говорить о том, что оно случайно, мы не имеем оснований.

Среди случайных событий выделяются два крайних случая:

О3 : Достоверное событие ( U ) –

событие, которое обязательно произойдет при выполнении условий опыта.

О4 : Невозможное событие ( V ) –

событие, которое обязательно не произойдет при выполнении условий опыта.

Практически все происходящие события в той или иной мере случайны. Однако одни из них происходят крайне редко, другие довольно часто, третьи почти всегда. В повседневной нашей деятельности каждый постоянно оценивает свои шансы на успех, используя слово «вероятность»:

• "Маловероятно, что я успею закончить эту работу до понедельника";

• "Очень вероятно, что курс доллара до конца месяц не изменится";

• "Мои шансы 50 на 50".

О5 : Вероятностью случайного события называется число, которым измеряется степень возможности появления случайного события.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Обозначается вероятность следующим образом: p ( a ).

Иногда это определение формулируют иначе:

Вероятность – это численная мера возможности события

Чем чаще появляется в опыте событие, тем больше должно быть это число, чем реже, тем меньше вероятность

§ 1.2. Статистическое определение вероятности

Когда мы в своей повседневной деятельности прогнозируем свои шансы на успех в условиях случайности, единственным источником информации для нас является наш предшествующий опыт. Если в предшествующих опытах событие появлялось достаточно часто, то и в данном очередном опыте мы оцениваем вероятность как достаточно высокую. Если ранее оно появлялось редко, то мы говорим, что вероятность мала.

Поэтому вполне естественной представляется попытка и в математической теории использовать для подсчета вероятности данные опыта. При создании теории вероятности основоположниками этой науки одним из первых подходов было как раз статистическое определение.

Пример: монета подброшена 10 раз, герб появился 7 раз.

Событие А – появление герба. N = 10, M = 7.

.

Статистическое определение позволяет находить вероятности таких событий, о структуре которых ничего неизвестно и частоту которых нельзя предсказать заранее из теоретических соображений. Например, только статистические данные за многие годы позволили найти вероятности рождения мальчиков и девочек. Оказалось, что эти вероятности отличны от 1/2; вероятность рождения мальчиков равна примерно 0,52.

Статистическое определение вероятности служит базой для всей математической статистики, которая как раз и занимается тем, что устанавливает вероятности экспериментальным путем как относительные частоты.

С другой стороны, статистическое определение вероятности имеет целый ряд существенных недостатков. Оно не является достаточно строгим с точки зрения математики; из него даже не видно, всякое ли случайное событие имеет вероятность. В силу этого по статистическому определению трудно изучать свойства вероятности. Непосредственно удается установить лишь следующие три факта:

1) вероятность достоверного события равна единице:

2) вероятность невозможного события равна нулю;

3) вероятность произвольного случайного события есть положительное число, не превосходящее единицы

Наконец, экспериментальное определение вероятности требует материаль-ных и физических затрат на проведение опытов. Иногда многократное повторение опыта в одних и тех же условиях вообще невозможно (проведение экспериментов над сложной экономической системой слишком дорогое и опасное занятие).

Поэтому желательно было бы иметь такой способ подсчета вероятностей, который бы вообще не требовал проведения опытов, позволял бы пользоваться только теоретическими рассуждениями.

Таким является классическое определение вероятности.