2.5.Изгиб

2.5.1. Основные понятия. Большое количество деталей машин и механизмов в процессе работы подвергаются действию нагрузки, перпендикулярной продольной оси, или пар, действующих в плоскости, проходящей через эту ось (рис.2.15). При этом в поперечных сечениях деталей возникают изгибающие моменты. Данный вид деформации называется изгибом.

Если в сечениях наряду с моментом возникают поперечные силы,

то такой изгиб называется поперечным, а если только изгибающий момент - то чистым.

Элементы конструкций, работающих на изгиб, называются балками.

Если нагрузки действуют в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей сечения, например через плоскость симметрии балки, то такой изгиб называется прямым (рис2.16,а), а если плоскость действия сил не совпадает с плоскостью симметрии балки, то косым (рис.2.16,б).

2.5.2. Определение поперечных сил и изгибающих моментов

в сечениях балки. Для расчета балок на прочность необходимо знать внутренние силовые факторы в каждом сечении. Рассмотрим в качестве примера жестко - защемленную балку, нагруженную вертикальной силой F (рис.2.17,а).

Выделим в балке на расстоянии Z от свободного конца сечение

mn и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис.2.17,б). Действие отброшенной правой части должно быть таким, чтобы удерживать левую часть в равновесии. Распределение напряжений по сечению неизвестно, но результирующая напряжений должна уравновесить силу F. Все неизвестные внутренние силы в сечении можно заменить парой сил с моментом М (изгибающим моментом) и силой вертикальной силой Q (поперечной силой), которые должны быть направлены как указано на чертеже.

Эти величины могут быть найдены из уравнений равновесия.

F_ky = 0; F -Q = 0; Q =F.

m₀(F_k) = 0; Fz - M = 0; M = Fz.

Если рассмотреть равновесие правой части балки (рис.2.17,б), то внутренние усилия, действующие на нее в сечении mn, будут иметь ту же величину, что и на правую, но направлены в противоположную сторону.

То есть знаки поперечной силы и изгибающего момента зависят от расположения их относительно сечения.

Правило знаков для изгибающих моментов и поперечных сил

изображено на рис.2.18.

Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз, то есть растянутые волокна расположены снизу.

Положительная поперечная сила направлена так, что она направлена слева от сечения вверх, а справа - вниз.

2.5.3. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Внутренние силовые факторы в сечениях балок зависят от внешней нагрузки и изменяются по длине балки, то есть являются функцией координаты Х. Эти значения удобно представлять в виде эпюр, ординаты которых в любом месте балки равны значению поперечной силы и изгибающего момента. Для построения эпюр необходимо составить уравнения равновесия каждого характерного участка балки, отсеченного от остальной части. При этом для балки, закрепленной на шарнирах необходимо вначале определить опорные реакции из уравнений равновесия всей балки в целом. Для консольной (жестко заделанной) балки определять реакции заделки не обязательно, если рассматривать равновесие частей, отсеченных от свободного конца.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Консольная балка длиной L, нагруженная на конце парой сил с моментом М (рис.2.19).

Рассмотрим равновесие участка балки, отсеченного от свободного конца, сечением В, находящимся от свободного конца на расстоянии Z. Cумма проекций всех сил на ось У равна нулю, поэтому поперечная сила Q в любом сечении балки также равна нулю. Следовательно при таком нагружении балка испытывает чистый изгиб. Изгибающий момент в любом сечении равен внешнему моменту на свободном конце, он положителен, так как балка прогибается выпуклостью вниз.

2. Консольная балка, нагруженная двумя силами F₁ =10КН и F₂=5КН (рис.2.20). Разбиваем балку на два участка и делаем сечения в произвольных местах каждого участка. Cоставляем уравнения равновесия.

1 участок:

F_k = 0; Q₁ - F₁ = 0;

Отсюда поперечная сила на первом участка постоянна и равна F₁, то есть 10 Кн.

F₁Z₁ - M₁ = 0;

То есть изгибающий момент на первом участке меняется по линейному закону. В точке В

М_в = F₁BC = 100,5 = 5 kнм.

На втором участке уравнения равновесия имеют вид:

Q₂ - F₁ - F₂ = 0; Q₂ = F₁ + F₂ = 10 + 5 = 15 kH;

F₁Z₂ + F₂(Z₂ - 0,5) -M₂ = 0; M₂ = F₁Z₂ + F₂(Z₂ -0,5);

M_a = 101 50,5 = 12,5 kHм.

Эпюры изгибающих моментов показаны на рис.2.20.

Знаки поперечной силы и изгибающего момента выбираем в соответствии с правилом знаков, отображенном на рис.2.18.

3. Консольная балка под действием распределенной нагрузки (рис.2.21). Составляем уравнения равновесия для участка, находящего на расстоянии Z от свободного конца:

1) Q - qZ = 0, Q = qZ.

При Z=0 Q=0, а при Z=2м Q=Q_max=4 кН. То есть эпюра поперечных сил носит линейный характер.

2) qZZ/2 - M = 0, M = qZ²/2 .

Отсюда видно, что изгибающие моменты изменяются по квадратичному закону, а максимальный момент возникает в заделке и равен 4 кНм.

23