2.3. Срез и смятие

2.3.1. Расчеты на срез. Срезом или сдвигом называется деформация, возникающая под действием двух близко расположенных и противоположно направленных сил. При этом в сечениях, параллельных этим силам, возникают касательные напряжения (рис.2.10).

В первом приближении можно считать, что касательные напряжения распределяются по сечению равномерно, поперечная сила Q в сечении уравновешивается силой F. В этом случае касательные напряжения равны:

 = Q/A_ср,

где А_ср - площадь среза.

Условие прочности элементов, работающих на срез, имеет вид:

 = Q/A_ср  _ср, (2.13)

где [_ср]- допускаемое касательное напряжение.

Величину допускаемого напряжения назначают на основании испытаний на срез. Обычно принимают _ср =(0,25-0,35)_т, где _т - предел текучести данного материала.

2.3.2. Расчеты на смятие. Смятием называется местная деформация сжатия на площадке передачи давления. При этом возникают нормальные напряжения, которые являются местными, их величина быстро уменьшается при удалении от площадки соприкосновения элементов (рис.2.11).

Напряжения смятия распределяются по поверхности неравномерно, однако поскольку закон их распределения неизвестен, то их считают равномерно распределенными по поверхности смятия.

Проверку прочности элементов на смятие производят по формуле:

_см =Q/A_см  _cм, (2.14)

где A_см - площадь смятия, _cм- допускаемое напряжение смятия. В машиностроении для различного рода крепежных деталей, изготовленных из стали, принимают _cм=100 - 170 Н/мм².

2.4. Кручение

2.4.1. Чистый сдвиг. Брус, на который действует пара сил, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси бруса, испытывает деформацию, называемую кручением.

Рассмотрим кручение тонкостенной трубки (рис.2.12). При действии на нее крутящего момента образующие цилиндра поворачиваются на угол . При этом в элементе бруса возникают касательные напряжения, под действием которых этот элемент перекашивается, а прямые углы между гранями также изменятся на угол . Этот угол называется углом сдвига.

Напряженное состояние элемента, при котором возникают только касательные напряжения, называется чистым сдвигом.

Касательные напряжения  и угол сдвига  связаны прямой пропорциональностью, то есть законом Гука:

 = G (2.15)

Коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига или модулем упругости второго рода и имеет размерность напряжения, так как угловая деформация является величиной безразмерной.

Между модулем упругости Е и модулем сдвига G существует зависимость, подтвержденная опытом:

(2.16)

где  - коэффициент Пуассона.

Для стали, например G=0,810⁵ МПа.

2.4.2. Напряжения и деформации при кручении вала. При кручении валов круглого и кольцевого сечений их поперечные сечения сохраняют плоскую форму, а радиусы этих сечений, поворачиваясь, не искривляются, то есть для расчета их прочности и жесткости применима гипотеза плоских сечений. Рассмотрим элемент вала длиной L (рис.2.13,а).

Учитывая малость деформаций длину дуг ВВ₁ и СС1 можно найти как произведение радиусов вращения на углы поворота:

BB₁ = _maxL = r; CC₁ = L = ,

откуда

_max =  r/L;  = /L или  = _max/r.

Таким образом, угол сдвига в поперечном сечение прямопропорционален расстоянию от оси вала - 

Сдвиг отдельных элементов вала сопровождается возникновением в его поперечных сечениях касательных напряжений, которые могут быть определены по закону Гука для сдвига:

 = G = G _max /r, _max = G_max,

откуда

 = _max/r,

то есть касательные напряжения в поперечном сечении меняются по длине радиуса по линейному закону. Сдвиг в поперечных сечениях при кручении происходит по направлению касательных к окружностям, поэтому направление касательного напряжения в какой-либо точке перпендикулярно соответственному радиусу (рис.2.13,б).

Выделим элементарную площадку площадью dA, которая находится на расстоянии  от центра бруса. Элементарная внутренняя сила, действующая на нее dQ =dA, а момент ее относительно оси бруса dM= dQ = dA. Cумма моментов всех внутренних сил, возникающих в поперечном сечении равна крутящему моменту в сечении Мk и определяется интегралом, взятом по площади:

Так как

Интеграл - то есть представляет собой полярный момент инерции сечения. Таким образом,

откуда максимальное касательное напряжение

(2.17)

Формулу (2.17) можно представить в виде:

(2.18)

где величина W_p = J_p/r называется полярным моментом сопротивления сечения.

Для сплошного кругового сечения

J_p = d⁴/32, W_p =  d³/16.

Угол закручивания бруса:

Подставляя ,

получим:

(2.19)

Угол , рассчитанный по формуле (2.19), измеряется в радианах. Данная формула справедлива лишь для участка с постоянным поперечным сечением и крутящим моментом. В других случаях угол закручивания найдется как алгебраическая сумма углов поворота на различных участках вала.

2.4.3. Построение эпюр крутящих моментов. При нагружении вала несколькими парами для расчетов на прочность и жесткость возникает потребность нахождения сечения с максимальным моментом. Для этого необходимо знать внутренние крутящие моменты в каждом сечении. Графики этих моментов, построенные на оси вала, называются эпюрами крутящих моментов.

При равномерном вращении вала для построения эпюр можно воспользоваться уравнением равновесия системы пар:

M_кz = 0 .

Этим уравнением следует воспользоваться для каждого характерного участка вала.

Рассмотрим пример (рис.2.14).

На вал действуют 4 пары сил с моментами М₁ = М₂ = 1000 Нм, М₃ =5000 Нм и М₄ = 3000 Нм, направление их указано на чертеже. Построить эпюру крутящих моментов.

Выделим у вала 3 участка с одинаковыми моментами внутренних сил. Сделаем сечение в произвольном месте первого участка и составим уравнение равновесия этого участка:

M_кz = 0; M_1k - M₁ = 0; M_1k = M₁ =1000 Hм.

Для второго участка:

M_2k - M₁ -M₂ =0; M_2k =M₁ + M₂ = 1000 + 1000 = 2000 Hм.

Для третьего:

M_3k - M₁ -M₂ +M₃ = 0;

M_3k = M₁ +M₂ - M₃ =1000 +1000 -5000 = - 3000 Нм.

Величина крутящих моментов на каждом участке будет одинакова.

2.4.4. Расчеты на прочность и жесткость при кручении. Прочность при кручении бруса круглого сплошного или кругового сечения определяется условием:

(2.20)

Формула (2.20) может служить основой для трех видов расчетов.

1. Проверочный расчет. При этом известен максимальный крутящий момент и размеры поперечного сечения и используется непосредственно формула (2.20).

2. Подбор сечения (проектный расчет). Из формулы (2.24) выражается W_p:

W_pM_k/_k (2.21)

Для сплошного кругового сечения W_p =d³/16, подставляя в формулу (2.21) получим:

3. Определение допускаемого крутящего момента, когда известны размеры поперечного сечения и допускаемое напряжение:

(2.22)

Допускаемое напряжение для сталей марок сталь 40 и сталь 45 принимаются в пределах [_]=30-50 МПа.

Кроме соблюдений условий прочности при проектировании валов требуется, чтобы вал обладал достаточной жесткостью, то есть чтобы угол закручивания не превосходил некоторой предельной величины. Например, в зубчатых передачах при больших углах закручивания валов происходит перекос зубьев и заклинивание.

Расчетный угол закручивания может быть найден по формуле (2.19). Угол закручивания на единицу длины:

(2.23)

В зависимости от назначения вала допускаемый угол закручивания принимают []=(0,45-1,75)10^-2 рад/м, что соответствует (0,25-1,0) град/м.

С помощью формулы (2.23) решаются три задачи, аналогичные задачам расчета на прочность- проверочный расчет, проектировочный и определение допустимой нагрузки.