1. Тема №1. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения.

1. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения, приведенным в таблице. Определите, чему равно математическое ожидание заданной дискретной случайной величины.

хi	–1	0	1	2	3	4
pi	0,2	0,15	0,25	0,1	0,2	0,1

2. Дискретная случайная величина Х задана функцией распределения, приведенной в таблице.

х	0	1	2	3	4	5	6
F(x)	0	0,134	0,445	0,721	0,959	0,996	1

Определите, чему равна вероятность того, что дискретная случайная величина Х примет значения, принадлежащие интервалу 1 < Х < 3.

3. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения, приведенным в таблице.

хi	0	1	2	3	4
pi	0,15	0,2	0,25	0,2	0,2

Определить, чему равна вероятность того, что дискретная случайная величина примет значения, принадлежащие интервалу Х ≤ 2.

4. Дискретная случайная величина х задана рядом распределения, приведенным в таблице.

хi	–1	0	1	2	3	4
pi	0,2	0,1	0,3	0,15	0,2	0,05

Чему равна мода данной дискретной случайной величины?

5. Дискретная случайная величина х задана рядом распределения, приведенным в таблице.

хi	–1	0	1	2	3
pi	0,2	0,15	0,1	0,25	0,3

Определите, чему равен начальный момент второго порядка заданной дискретной случайной величины.

6. В лотерее 900 билетов. Из них на 5 выпадает выигрыш в 100 руб., на 90 по 50 руб., на 150 по 10 руб. Остальные билеты невыигрышные. Случайной величиной Х является сумма выигрыша для человека, имеющего один билет. Найти: а) ряд распределения и построить многоугольник распределения; б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

7. Человек, имея 6 ключей, хочет открыть дверь. При этом он подбирает ключи случайно, зная, что только один ключ подходит к замку. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа испытаний при условии, что испробованный ключ устраняется. Построить многоугольник распределения. Определить вероятность того, что испытаний будет не больше двух.

8. Телефон-автомат обеспечивает нужное соединение с вероятностью 0,6. Вы пытаетесь дозвониться по определённому номеру, имея к началу опыта 5 монет. Случайная величина - это число истраченных монет. Построить ряд распределения, многоугольник распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

9. С подводной лодки выпускаются торпеды последовательно до первого попадания в цель или полного израсходования всего боекомплекта, состоящего из 6 торпед. Все выстрелы независимые, а вероятность попадания в цель каждой торпеды 0,2. Случайная величина Х - число израсходованных торпед. а) Построить ряд распределения, многоугольник распределения случайной величины Х; б) найти математическое ожидание и дисперсию Х; в) найти наивероятнейшее число израсходованных торпед.

10. Построить ряд распределения и функцию распределения случайного числа попаданий мячом в корзину при одном броске, если вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,3. Найти математическое ожидание и дисперсию.

11. Опыт состоит из трёх независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб выпадает с вероятностью 0,5. Для случайного числа появлений герба построить: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) функцию распределения.

12. Производятся последовательные независимые испытания пяти приборов на надёжность. Следующий прибор испытывается в том случае, если предыдущий оказался надёжным. Построить ряд распределения случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,9. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

13. Независимые опыты продолжаются до первого положительного исхода, после чего они прекращаются. Найти для случайного числа опытов: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) наивероятнейшее число опытов, если вероятность положительного исхода при каждом опыте равна 0,4, а число опытов не превосходит 5.

14. Баскетболист забрасывают мяч в корзину до первого попадания. Построить ряд распределения случайного числа бросков, если вероятность попадания равна 0,7, а число бросков не превосходит 5. Построить многоугольник распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

15. Мишень состоит из круга №1 и двух концентрических колец с номерами 2 и 3. Попадание в круг №1 даёт 10 очков, в кольцо №2 даёт 5 очков, в кольцо №3 даёт -1 очко. Вероятности попадания в круг №1 и кольца №2 и №3 соответственно равны 0,5; 0,3; 0,2.Построить ряд распределения для случайной суммы выбитых очков в результате трёх попаданий. Построить многоугольник распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

16. Построить ряд распределения и функцию распределения случайного числа попаданий мячом в корзину при одном броске, если вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию.

17. Имеется 6 заготовок одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна 0,7. а) Найти ряд распределения числа заготовок, оставшихся после изготовления годной детали; б) построить ряд распределения для случайного числа использованных заготовок. Построить многоугольник распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

18. Производятся испытания 7 изделий на надёжность, причём вероятность выдержать испытания для каждого изделия равна 0,8. Построить ряд распределения случайного числа изделий, выдержавших испытания. Построить многоугольник распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

19. Вероятность появления герба при каждом из пяти бросаний монеты равна 0,5. Составить ряд распределения отношения числа Х появлений герба к числу У появления решётки. Построить многоугольник распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

20. Производится три независимых опыта, в каждом из которых с равной вероятностью может быть получено любое целое число от 0 до 6. Построить ряд распределения суммы полученных чисел.

21. В лотерее 200 билетов. Из них на 5 выпадает выигрыш в 100 руб., на 20 по 50 руб., на 80 по 10 руб. Остальные билеты невыигрышные. Случайной величиной Х является сумма выигрыша для человека, имеющего один билет. Найти: а) ряд распределения и построить многоугольник распределения; б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

22. Человек, имея 5 ключей, хочет открыть дверь. При этом он подбирает ключи случайно, зная, что только один ключ подходит к замку. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа испытаний при условии, что испробованный ключ устраняется. Построить многоугольник распределения. Определить вероятность того, что испытаний будет не больше двух.

23. Телефон-автомат обеспечивает нужное соединение с вероятностью 0,7. Вы пытаетесь дозвониться по определённому номеру, имея к началу опыта 6 монет. Случайная величина - это число истраченных монет. Построить ряд распределения, многоугольник распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

24. С подводной лодки выпускаются торпеды последовательно до первого попадания в цель или полного израсходования всего боекомплекта, состоящего из 4 торпед. Все выстрелы независимые, а вероятность попадания в цель каждой торпеды 0,3. Случайная величина Х - число израсходованных торпед. а) Построить ряд распределения, многоугольник распределения случайной величины Х; б) найти математическое ожидание и дисперсию Х; в) найти наивероятнейшее число израсходованных торпед.

25. Построить ряд распределения и функцию распределения случайного числа попаданий мячом в корзину при одном броске, если вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию.

26. Производится три независимых опыта, в каждом из которых с равной вероятностью может быть получено любое целое число от 0 до 4. Построить ряд распределения суммы полученных чисел.

27. Производятся последовательные независимые испытания четырёх приборов на надёжность. Следующий прибор испытывается в том случае, если предыдущий оказался надёжным. Построить ряд распределения случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,8. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

28. Независимые опыты продолжаются до первого положительного исхода, после чего они прекращаются. Найти для пяти опытов: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) наивероятнейшее число опытов, если вероятность положительного исхода при каждом опыте равна 0,4, а число опытов не превосходит 6.

29. Баскетболист забрасывают мяч в корзину до первого попадания. Построить ряд распределения случайного числа бросков, если вероятность попадания равна 0,6, а число бросков не превосходит 6. Построить многоугольник распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

30. Мишень состоит из круга №1 и двух концентрических колец с номерами 2 и 3. Попадание в круг №1 даёт 10 очков, в кольцо №2 даёт 5 очков, в кольцо №3 даёт -1 очко. Вероятности попадания в круг №1 и кольца №2 и №3 соответственно равны 0,2; 0,5; 0,3. Построить ряд распределения для случайной суммы выбитых очков в результате трёх попаданий. Построить многоугольник распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

31. С подводной лодки выпускаются торпеды последовательно до первого попадания в цель или полного израсходования всего боекомплекта, состоящего из 3 торпед. Все выстрелы независимые, а вероятность попадания в цель каждой торпеды 0,4. Случайная величина Х - число израсходованных торпед. а) Построить ряд распределения, многоугольник распределения случайной величины Х; б) найти математическое ожидание и дисперсию Х; в) найти наивероятнейшее число израсходованных торпед.

32. Имеется 5 заготовок одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна 0,6. а) Найти ряд распределения числа заготовок, оставшихся после изготовления годной детали; б) построить ряд распределения для случайного числа использованных заготовок. Построить многоугольник распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

33. Производятся испытания 6 изделий на надёжность, причём вероятность выдержать испытания для каждого изделия равна 0,7. Построить ряд распределения случайного числа изделий, выдержавших испытания. Построить многоугольник распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

34. Вероятность появления герба при каждом из пяти бросаний монеты равна 0,5. Составить ряд распределения отношения числа Х появлений решётки к числу У появления герба. Построить многоугольник распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

35. Производится два независимых опыта, в каждом из которых с равной вероятностью может быть получено любое целое число от 0 до 5. Построить ряд распределения суммы полученных чисел. Найти математическое ожидание и дисперсию. Построить многоугольник распределения.