1. Правила сложения вероятностей

Аксиома: Вероятность суммы или наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (аддитивность Р):

Данную аксиому иногда называют «теоремой сложения», так как для опытов, сводящихся к «схеме случаев», она может быть доказана.

Эта аксиома легко обращается на любое число несовместных событий: вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Пример 1: Вероятность попадания в башню танка при одном выстреле – 0,2, в его корпус – 0,1, в ходовую часть – 0,025. Найти вероятность попадания в танк при одном выстреле.

Решение:

Обозначим интересующее нас событие через А = {попадание в танк}, тогда А₁ = {попадание в башню танка}, А₂ = {попадание в корпус танка}, А₃={попадание в ходовую часть}.

Очевидно, что попадание в танк наступит тогда, когда снаряд попадёт либо в башню, либо в корпус, либо в ходовую часть танка. Таким образом, интересующее нас событие А будет являться суммой событий А₁; А₂; А₃:

А так как события А₁; А₂; А₃ несовместные (наступление одного из них исключает появление другого), то вероятность наступления события А определится как:

.

Вывод: полученный результат означает, что при проведении достаточно большого числа стрельб в аналогичных условиях в среднем в 325 случаях из 1000 будет получено попадание в танк.

Из данной аксиомы вытекают два важных следствия.

Следствие 1. Если события А₁, А₂, …А_n образуют полную группу несовместных событий ( ), то сумма их вероятностей равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Р(А) + Р( ) = 1

Для совместных событий аксиома примет следующий вид:

Вероятность суммы, или наступление хотя бы одного из двух совместных событий, равна сумме вероятности этих событий без вероятности произведения этих событий:

.

Справедливость этого тождества наглядно следует из его геометрической интерпретации (рисунок 1).

А

АВ

АК

В

В

Ω

Ω

а б

Рисунок 1

На диаграмме Эйлера-Венна вероятность наступления событий А (или В) по существу есть площадь области, при попадании случайной точки в которую, наступает событие А (или В). Тогда вероятность комбинации А + В будет соответствовать площади заштрихованной области (рисунок 1.а). Чтобы получить такую же по площади область, необходимо из площади областей наступления событий А и В вычесть площадь их совместного появления АВ (рисунок 1.б).

Пример 2: вероятность подавления батареи противника из-за потерь только в личном составе составляет 0,15; вследствие повреждения материальной части - 0,45; а из-за потерь одновременно в личном составе и материальной части - 0,25. Какова вероятность подавления артиллерийской батареи?

Решение: Пусть событие А = {подавление личного состава батареи}, а событие В= {повреждения материальной части}. Тогда одновременное подавление личного состава и повреждение материальной части будут являться совместным наступлением событий А и В или АВ.

Вероятность наступления события А по условию задачи равна 0,15 (Р(А)=0,15), вероятность наступления события В равна 0,45 (Р(В)=0,45), вероятность совместного наступления события А и В равна 0,25 (Р(АВ)=0,25).

Требуется найти вероятность события С ={подавления батареи противника}, которое будет заключаться либо в подавлении личного состава батареи, либо в повреждении материальной части либо того и другого, или Р(А+В).

Применив теорему сложения вероятностей, получим:

Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,15 + 0,45 - 0,25 = 0,35.

Вывод: Полученный результат означает, что при проведении достаточно большого числа стрельб в аналогичных условиях в среднем в 35 случаях из 100 батарея противника будет подавлена, т.е. поражён либо личный состав, либо повреждена техника, либо и то и другое.