2.6. Проверка значимости уравнения регрессии

Оценить значимость уравнения регрессии — значит установить, соответствует ли математическая, модель, выражающая зависимость между Y и Х, экспериментальным данным. Для оценки значимости в предпосылках «нормальной регрессии» проверяют гипотезу Н₀: =0. Если она отвергается, то считают, что между Y и X нет связи (или связь нелинейная). Для проверки нулевой гипотезы используют основное положение дисперсионного анализа о разбиении суммы квадратов на слагаемые. Воспользуемся разложением . Общая сумма квадратов отклонений результативного признака разлагается на Q₁ (сумму, характеризующую влияние признака X) и Q₂ (остаточную сумму квадратов, характеризующую влияние неучтённых факторов). Очевидно, чем меньше влияние неучтённых факторов, тем лучше математическая модель соответствует экспериментальным данным, так как вариация Y в основном объясняется влиянием признака X.

Для проверки нулевой гипотезы вычисляют статистику которая имеет распределение Фишера-Снедекора с =l, =n-2 степенями свободы (в п - число наблюдений). По уровню значимости α и числу степеней свободы и находят по таблицам F-распределение для уровня значимости α=0,05 (см. табл. 3 приложений) критическое значение , удовлетворяющее условию . Если , нулевую гипотезу отвергают, уравнение считают значимым. Если то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

2.7. Многомерный регрессионный анализ

В случае, если изменения результативного признака определяются действием совокупности других признаков, имеет место многомерный регрессионный анализ. Пусть результативный признак Y, а независимые признаки Для многомерного случая предпосылки регрессионного анализа можно сформулировать следующим образом: Y - независимые случайные величины со средним и постоянной дисперсией — линейно независимые векторы Все положения, изложенные в п.2.1, справедливы для многомерного случая. Рассмотрим модель вида

_(2.13)

Оценке подлежат параметры и остаточная дисперсия. Заменив параметры их оценками, запишем уравнение регрессии

_(2.14)

Коэффициенты в этом выражении находят методом наименьших квадратов.

Исходными данными для вычисления коэффициентов является выборка из многомерной совокупности, представляемая обычно в виде матрицы X и вектора Y:

Общие организационно-методические рекомендации преподавателю 3

Рисунок 1 61

Рисунок 2 61

X 146

1.1. Статистическое описание результатов наблюдений 155

Пусть С — матрица коэффициентов при неизвестных параметрах ; — матрица, обратная матрице С; — элемент, стоящий на пересечении i-й строки и i-го столбца матрицы — выражение . Тогда, используя формулы линейной алгебры, запишем окончательные выражения для параметров:

(2.17)

Оценкой остаточной дисперсии является

где — измеренное значение результативного признака; значение результативного признака, вычисленное по уравнению регрессий.

Если выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности, то, аналогично изложенному в п. 2.4, можно проверить значимость оценок коэффициентов регрессии, только в данном случае статистику вычисляют для каждого j-го коэффициента регрессии (2.18)

где —элемент обратной матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца; — диагональный элемент обратной матрицы.

При заданном уровне значимости α и числе степеней свободы k=n—т—1 по табл. 1 приложений находят критическое значение . Если , то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии отвергают. Оценку коэффициента считают значимой. Такую проверку производят последовательно для каждого коэффициента регрессии. Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, оценку коэффициента регрессии считают незначимой.

Для значимых коэффициентов регрессии целесообразно построить доверительные интервалы по формуле (2.10). Для оценки значимости уравнения регрессии следует проверить нулевую гипотезу о том, что все коэффициенты регрессии (кроме свободного члена) равны нулю: ( — вектор коэффициентов регрессии). Нулевую гипотезу проверяют, так же как и в п. 2.6, с помощью статистики , где Q₁ — сумма квадратов, характеризующая влияние признаков Х; Q_ocт — остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтённых факторов; k₂=n—m—1, k₁=m. Для уровня значимости α и числа степеней свободы k₁ и k₂ по табл. 3 приложений находят критическое значение . Если , то нулевую гипотезу об одновременном равенстве нулю коэффициентов регрессии отвергают. Уравнение регрессии считают значимым. При нет оснований отвергать нулевую гипотезу, уравнение регрессии считают незначимым.