1. Понятие о числовых характеристиках случайной величины

На прошлой лекции мы рассмотрели, что закон распределения дискретной случайной величины может быть задан одним из следующих способов: формулой, с помощью которой можно вычислить вероятность всех возможных значений случайной величины; рядом распределения; функцией распределения.

Закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан: формулой, с помощью которой можно вычислить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал; функцией распределения; функцией плотности распределения.

Однако для ряда непрерывных случайных величин определение закона распределения затруднительно. При этом о каждой случайной величине необходимо, прежде всего, знать ее некоторое среднее значение, вокруг которого группируются возможные частные значения случайной величины, наблюдаемые на опыте. Другими словами, необходимо знать, где находится так называемый «центр рассеивания» случайной величины.

Не менее важным при решении практических задач является знание того, насколько велик наблюдаемый на опыте разброс возможных частных значений случайной величины относительно ее среднего значения или центра рассеивания.

Числовые характеристики, с помощью которых оценивается положение центра рассеивания случайной величины, носят название числовых характеристик положения.

Числовые характеристики, показывающие, насколько тесно сгруппированы возможные частные значения случайной величины около центра рассеивания, носят название числовых характеристик рассеивания.

Кроме указанных числовых характеристик для более полного описания случайной величины могут использоваться и ряд других числовых характеристик, предназначенных для уяснения характерных черт распределения случайной величины.

В теории вероятностей для характеристики случайной величины вводится понятие моментов. Однако, на настоящий момент изучения данной дисциплины мы ограничимся лишь понятием математического ожидания и дисперсии, а понятие «моментов» введём при изучении Темы 11 при рассмотрении системы нескольких случайных величин.

2. Числовые характеристики положения: математическое ожидание и его основные свойства

Математическое ожидание случайной величины является основной характеристикой, указывающей положение центра рассеивания случайной величины или иначе среднее ориентированное значение случайной величины, около которого группируются все возможные частные значения случайной величины.

Со средним значением случайной величины мы часто имеем дело в повседневной.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, имеющую возможные значения х₁, х₂…х_n, с соответствующими вероятностями p₁, p₂,…p_n. Требуется каким-то числом охарактеризовать среднее значение случайной величины при условии того, что все эти значения имеют различные вероятности.

Для решения этой задачи воспользуемся так называемым «средним взвешенным» из значений х_i, причём каждое значение х_i будем учитывать с «весом», пропорциональным вероятности этого значения.

Учитывая, что мы имеем дело с полной группой несовместных событий ( ), получим:

Таким образом, мы получили «среднее взвешенное» значение случайной величины Х из значений х₁, х₂…х_n, с учётом «веса» пропорционального вероятности этих значений.

Это «среднее взвешенное» значение и является математическим ожиданием (средним значением) случайной величины Х (обозначается или ).

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений.

Для непрерывной случайной величины Х математическое ожидание будет выражается уже не суммой, а интегралом вида:

,

где:	f(x)	–	плотность распределения случайной величины Х.
	f(x)dx	–	элемент вероятности – вероятность попадания непрерывной случайной величины Х на элементарный участок dх, прилежащий к точке Х.

Рассмотрим некоторые важные свойства математического ожидания случайной величины.

1. Математическое ожидание постоянной величины с равно самой постоянной:

М[с] = с

2. При прибавлении к случайной величине Х постоянной величины с к её математическому ожиданию прибавляется та же величина:

3. Постоянную величину с можно выносить за знак математического ожидания

М[сХ] = сМ[Х]

Математическое ожидание имеет размерность случайной величины и может быть целое, дробное, положительное и отрицательное.

Кроме математического ожидания в качестве характеристик положения используются также мода – М, и медиана – Ме случайной величины.